Πιο κοντά δεν γίνεται

KARKAR · #1

: Πιο κοντά δεν γίνεται.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η κάθετη πλευρά

είναι σταθερή , ενώ η

μεταβάλλεται .

Προεκτείνουμε την διχοτόμο

κατά ίσο τμήμα

. Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Έχω λύση προσεγγιστική.

: 19-07-2023 Γεωμετρία.png (20.57 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

Έστω

.

Φέρνουμε

κάθετη στην

.

Τότε $\diplaystyle AT = TK = y,\;0 < y < \frac{1}{2}$ και $\diplaystyle S{B^2} = {x^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}$

$\diplaystyle \varepsilon \varphi C = \frac{1}{x},\;\varepsilon \varphi \frac{C}{2} = \frac{y}{x}$ , οπότε $\diplaystyle \frac{{\frac{{2y}}{x}}}{{1 - \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 - 2y} \right) = {y^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{y^2}}}{{1 - 2y}}$

Άρα $\diplaystyle S{B^2} = \frac{{{y^2}}}{{1 - 2y}} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}$ , που έχει ελάχιστο όταν $\diplaystyle y \cong 0,2692$ , με τιμή

$\diplaystyle S{B_{\min }} \cong 0,61$ (πολλαπλασιασμένο με

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 19, 2023 5:51 pm
Πιο κοντά δεν γίνεται.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η κάθετη πλευρά είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται .

Προεκτείνουμε την διχοτόμο κατά ίσο τμήμα . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

Καλημέρα!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και με θεώρημα διχοτόμου, βρίσκω $\displaystyle y = \frac{{cx}}{{x + \sqrt {{x^2} + {c^2}} }}$

: Πιο κοντά δε γίνεται.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Αλλά με Πυθαγόρειο, $\displaystyle S{C^2} = 4T{C^2} = 4({x^2} + {y^2}).$ Τέλος με Θεώρημα διαμέσου στο BSC

καταλήγω σε

$\displaystyle f(x) = BS = \sqrt {{{\left( {\frac{{2cx}}{{x + \sqrt {{x^2} + {c^2}} }} - c} \right)}^2} + {x^2}},$ απ' όπου προκύπτει ότι για

$\boxed{x\simeq 0,3962c}$ έχουμε ελάχιστη τιμή $\boxed{B{S_{\min }} \simeq 0,608c}$

Πιο κοντά δεν γίνεται

Πιο κοντά δεν γίνεται

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση