Συμμετρικά προβλήματα

KARKAR · #1

: Συμμετρικά προβλήματα.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, η βάση

μεταβάλλεται . Ονομάζουμε

το

συμμετρικό του

ως προς την

και :

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

της

.

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πενταγώνου ABA'A''C

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 11:53 am
Συμμετρικά προβλήματα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η βάση μεταβάλλεται . Ονομάζουμε το

συμμετρικό του ως προς την και : το συμμετρικό του ως προς το μέσο της .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πενταγώνου .

Έστω

και

: Συμμετρικά προβλήματα.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Με 2ο θεώρημα διαμέσων στο ABC

είναι $\displaystyle 16 = 2xOM = xA'A'' \Leftrightarrow A'A'' = \frac{{16}}{x}$

Από τον τύπο της διαμέσου και Π.Θ στο AA'A''

παίρνω $\displaystyle h = \frac{{\sqrt {68{x^2} - {x^4} - 256} }}{{2x}}$

$\displaystyle (ABA'A''C) = (ABA'C) + (A'A''C) = xh + \frac{{8h}}{x},$ απ' όπου με αντικατάσταση του

είναι

$\displaystyle (ABA'A''C) = f(x) = \frac{{{x^2} + 8}}{{2x}}\sqrt {68{x^2} - {x^4} - 256}$ που έχει για $\boxed{x\simeq 5,165526}$ μέγιστη τιμή

ίση με $\boxed{{(ABA'A''C)_{\max }} = 18,908436}$

Η ακριβής τιμή του

είναι, $\boxed{x = \sqrt {\frac{2}{3}\left( {17 + \sqrt[3]{{3167 - 54\sqrt {3229} + \sqrt[3]{{3167 + 54\sqrt {3229} }}}}} \right)} }$

Όποιος έχει το κουράγιο ας κάνει την αντικατάσταση

Συμμετρικά προβλήματα

Συμμετρικά προβλήματα

Re: Συμμετρικά προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση