Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή , καλό Μάϊο σε όλους!
Στο θέμα που ακολουθεί .. κάτι μου λείπει , δεν έχω (πλήρη) απόδειξη.

: Τρεις για την 60άρα.png (35.53 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Οι

είναι διχοτόμοι του τριγώνου ABC

. Ο κύκλος των A,B,E

τέμνει την πλευρά

και στο

.

Αν η

είναι διχοτόμος της $\angle NEA$ τότε: Να εξεταστεί αν (κατ' ανάγκη) είναι $\angle A=60^o$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2026 1:05 am
Οι είναι διχοτόμοι του τριγώνου . Ο κύκλος των τέμνει την πλευρά και στο .

Αν η είναι διχοτόμος της $\angle NEA$ τότε: Να εξεταστεί αν (κατ' ανάγκη) είναι $\angle A=60^o$ .

: τρεις διχοτ.png (38.26 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

.
Ναι, αληθεύει ότι $\angle A=60^o$ .

Από το εγγράψιμο ABNE

είναι $\widehat {NEC} = B$ , άρα εξ υποθέσεως $\omega = \dfrac {180-B}{2}$ .

Επειδή η τομή

των διχοτόμων BE, CZ

είναι το έγκεντρο του τριγώνου, έπεται α) $\widehat {BIC} = 90 + \dfrac {A}{2}$ (γνωστό και απλό) και β)
$\widehat {AIE} = \dfrac {A}{2}+\dfrac {B}{2}$ (εξωτερική γωνία).

Στο τρίγωνο τώρα AIE

οι γωνίες του έχουν άθροισμα

$\left ( \dfrac {A}{2}+\dfrac {B}{2}\right ) + \dfrac {A}{2}+\dfrac {180-B}{2}+\theta =180$ , άρα $\theta =90-A$ .

Άρα στο τρίγωνο ZIE

είναι

$\widehat {EZI}= 180 - \left [ \left ( 90 + \dfrac {A}{2}\right ) +(90-A) \right ] = \dfrac {A}{2}$

Έπεται από την άσκηση εδώ ότι A=60

, όπως θέλαμε.

KARKAR · #3

: 3 διχοτόμοι.png (23.49 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Λίγο διαφορετικά : Από το τρίγωνο ZEC

, έχω :

$\theta=180-B-90+\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2}=90-\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2}=\dfrac{A}{2}$ .

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2026 1:05 am
Καλή Κυριακή , καλό Μάϊο σε όλους!
Στο θέμα που ακολουθεί .. κάτι μου λείπει , δεν έχω (πλήρη) απόδειξη.

Τρεις για την 60άρα.png

Οι είναι διχοτόμοι του τριγώνου . Ο κύκλος των τέμνει την πλευρά και στο .

Αν η είναι διχοτόμος της $\angle NEA$ τότε: Να εξεταστεί αν (κατ' ανάγκη) είναι $\angle A=60^o$ .

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Τρεις διχοτόμοι για 60.png (23.5 KiB) Προβλήθηκε 22 φορές

Η

τέμνει την

στο

Προφανώς η

είναι μεσοκάθετη του AN.

Άρα

οπότε και το AZNC

είναι εγγράψιμο.

$\displaystyle B\widehat NC = 180^\circ \Leftrightarrow Z\widehat NB + Z\widehat NE + E\widehat NC = 180^\circ \Leftrightarrow 3\widehat A = 180^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=60^\circ}$

Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Re: Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Re: Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Re: Τρεις διχοτόμοι για μιά εξηντάρα

Μέλη σε σύνδεση