Ανισότητα – Ολοκλήρωμα

orestisgotsis · #1

Περιττό

ksofsa · #2

Καλημέρα!

Θα δείξουμε την ανισότητα $\int_{1}^{e}\dfrac{(lnx)^{2009}}{x^2}dx> \dfrac{1}{2010e}$ . Οπότε, θα ισχύει και η αρχική.

Πραγματοποιούμε την αντικατάσταση y=lnx

και είναι $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$ και x=e^y

. Οπότε, η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:

$\int_{0}^{1}y^{2009}e^{-y}dy> \dfrac{1}{2010e}\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(y^{2010})'e^{-y}dy> \dfrac{1}{e}\Leftrightarrow [y^{2010}e^{-y}]^1_{0}+\int_{0}^{1}y^{2010}e^{-y}dy>\dfrac{1}{e}$

$\int_{0}^{1}y^{2010}e^{-y}dy> 0$ , που ισχύει.

#3

Ας παρατηρηθεί γενικότερα εδώ ότι, χρησιμοποιώντας κατά παράγοντας ολοκλήρωση, προκύπτει ο αναδρομικός τύπος

$I_m=-\dfrac{1}{e}+mI_{m-1},$

όπου $I_m=\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{(lnx)^m}{x^2}dx$ ,

και από αυτόν προκύπτει σχετικά εύκολα ο ακριβής τύπος

$I_m=\dfrac{m!}{e}\displaystyle\sum_{k=m+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!},$

από τον οποίο είναι άμεση και η ανισότητα του Κώστα,

$I_m>\dfrac{1}{(m+1)e}.$

Ανισότητα – Ολοκλήρωμα

Ανισότητα – Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα – Ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα – Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση