Διδασκαλια Ολοκληρωματων-Προτάσεις

dennys · #1

παρακαλώ θερμά συναδελφους ,ποιά σειρά θα ακολουθήσουν για τα ολοκληρώματα .
θα κάνουν μόνο το ορισμένο μιας και ρητά αποκλείεται το αόριστο .κάθε γνώμη αποψη, συμβουλή δεκτή.
φιλικά

#2

dennys έγραψε:παρακαλώ θερμά συναδελφους ,ποιά σειρά θα ακολουθήσουν για τα ολοκληρώματα .
θα κάνουν μόνο το ορισμένο μιας και ρητά αποκλείεται το αόριστο .κάθε γνώμη αποψη, συμβουλή δεκτή.
φιλικά

Αν βρεις λίγο χρόνο, βάλε στην αναζήτηση μερικές λέξεις κλειδιά και βρες τα μηνύματα , όπου έχουμε αναλύσει το ερώτημα αυτό.

Θα προτιμούσα το αόριστο να ήταν μέσα στην ύλη, διότι με τη διάταξη που έχει το βιβλίο πρέπει να γυρίσουμε μέσα στο αόριστο ολοκλήρωμα και να συμπληρώσουμε από κει μερικά πράγματα, όπως η ολοκλήρωση των ρητών και άλλα . Εκτός αυτού, αν ένας μαθητής χρειαστεί κάπου μια αρχική , πχ της f, άντε αυτός να σκεφτεί αν βρει το ορισμένο ολοκλήρωμα α έως χ της f(t)dt και να πετάξει τη σταθερή ποσότητα , αν του δημιουργεί πρόβλημα.
Τέλος πάντων , το κακό για φέτος έγινε. Ας ελπίσουμε του χρόνου να το ξανασκεφτούν, εκτός αν

το σκεφτούν πολύ πολύ και βγάλουν εκτός ύλης παράγωγο και ολοκλήρωμα αλλά και όλα τα μαθηματικά !
Με τα παιδαριώδη αυτά λάθη , τι να πεις !

Μπάμπης

newton · #3

Χαμός γίνεται με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων φέτος. Ο καθένας ερμηνεύει τις οδηγίες όπως θέλει. Στο σχολείο βέβαια δεν φθάσανε ακόμη, αλλά στα φροντιστήρια ο καθένας κάνει ότι θέλει. Άλλος κάνει το άοριστο κανονικά , άλλος δεν κάνει καθόλου παραγοντική, ρητά αφού το σχολικό τα λέει στην παράγραφο 3.2. που θεωρείται εκτός.
Προσωπικά δίδαξα τις αρχικές και τον πίνακα όπως λέει η οδηγία και όλες τις μεθόδους που αντιμετωπίζαμε στο αόριστο με ασκήσεις ορισμένων. Δηλαδή παραγοντική σε ορισμένο, ρητά σε ορισμένο κ.λ.π. Κάποιος δε, διαρέει ότι αφού το βιβλίο δεν έχει ρητό σε ορισμένο είναι εκτός ύλης και την πληροφορία την έχει από την ΟΕΦΕ. Έλεος φέτος με την προχειρότητα του υπουργείου. Λές και κάθε χρόνο τα παιδιά δεν τα πάνε καλά στα Μαθηματικά επειδή είχαν στην ύλη τους το αόριστο ολοκλήρωμα . Ποια η γνώμη σας;

Ιστοσελίδα · #4

Tην παραπάνω πληροφορία για τα ρητά ολοκληρώματα την έχω και εγώ, αλλά μόνο ως πληροφορία από τους συμβούλους, λέγεται ότι ειπώθηκε από το ΠΙ , ποιος όμως θα πάρει το ρίσκο να μην τα διδάξει ως ορισμένα από την στιγμή που δεν υπάρχει έγγραφη οδηγία από το υπουργείο; Το ηθικό δίδαγμα: τα κάνουμε όλα και έχουμε το κεφάλι μας ήσυχο. Κάποιοι που κάνουν το αόριστο ολοκλήρωμα δεν είναι υπερβολικοί. Ας ελπίσουμε την νέα χρονιά να δοθούν σαφείς οδηγίες αν παραμείνει το αόριστο ολοκλήρωμα εκτός ύλης.

#5

newton έγραψε:Χαμός γίνεται με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων φέτος.

Και που είσαι ακόμα φίλε μου. Εδω γίνεται χαμός στη Γ'Γυμνασίου στη Γ'Λυκείου δε θα γίνονταν;
Κάτσε να περιλάβουν για λίγο ακόμα αυτήν την τσουρούτικη μαθηματική παιδεία
και στο τέλος όλοι μας θα αυτοσχεδιάζουμε.
Αν τα βλέπει όλα αυτά ο συνονόματος σου,πατέρας του λογισμού θα κάνει πολλές στροφές απο
τη σκασίλα του εκεί που βρίσκεται.

Γ.ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ · #6

Προχθές είχε έλθει ο Σύμβουλος στο σχολείο και το συζήτησα μαζί του. Είχε την ίδια άποψη με αυτήν που ανέφερε ο Μπάμπης. Και εγώ πάντως αυτό κάνω. Δεν επηρεάζομαι απο φήμες. Στο γιό μου που δίνει εφέτος έκανα όλες τις μεθόδους απλά αντί να χρησιμοποιώ το αόριστο, πήγαινα στην αρχική.
Γιώργος Ασημακόπουλος

Ηλίας Θ. · #7

Όπως έχω αναφέρει και σε άλλο νήμα, εγώ έχω διδάξει τα πάντα κανονικά, εκτός από το αόριστο ολοκλήρωμα. Ρητές, τριγωνομετρικές ως αρχικές ( χωρίς το σύμβολο του ολοκληρώματος ). Δεν απέκλεισα τις ασκήσεις των αορίστων ολοκληρωμάτων.
Όταν τελείωσα με τις μεθόδους στα ορισμένα, επανήλθα στις ίδιες μεθόδους στις αρχικές. Η δυσκολία ήταν αρκετή θα έλεγα.

Όντως ο κάθε ένας κάνει ό,τι νομίζει... Αλλά γι' αυτό είμαστε καθηγητές κι όχι . . . μηχανές.
Διδάσκω σε φροντιστήριο.
Ηλίας

#8

Γειά σας
Γράφω εν συντομία την γνώμη μου για την διδασκαλία των ολοκληρωμάτων δηλαδή πως προτίθεμαι να διδάξω το θέμα.
1) 'Ηδη σε δύο μαθήματα εμβόλιμα στις παραγώγους έχω διδάξει την έννοια της παράγουσας μέσω της ανάγκης να βρίσκουμε εμβαδά. Δηλαδή την έννοια της αντιπαραγώγισης. Έχω αποδείξει τα σχετικά με τις παράγουσες και οι μαθητές μου έχουν "δει" ότι το εμβαδόν που περικλείεται από την $C_{f}$ τις $x=a,\,x=b,\,y=0$ όταν a<b

και $f(x) \geq 0$ για όλα τα $x \in (a,b)$ είναι ίσο με F(b)-F(a)

όπου

είναι οποιαδήποτε παράγουσα της

.
2) 'Oταν φύγω από το κεφάλαιο των παραγώγων (έχω διδάξει τις ασυμπτώτους και μαζί με μία επανάληψη θα τελειώσω με το καλό την ερχόμενη εβδομάδα) θα χρησιμοποιήσω 2 μαθήματα για να προπονηθούν οι μαθητές να βρίσκουν παράγουσες αξιοποιώντας προηγούμενες γνώσεις από την 'Αλγεβρα και την Ανάλυση. Μεταξύ άλλων και τις παράγουσες των
$\bullet$ $\displaystyle \frac{ax+b}{\left( x-\rho _{1}\right) \left( x-\rho _{2}\right) }=\allowbreak \frac{\frac{b+a\rho _{1}}{\rho _{1}-\rho _{2}}}{x-\rho _{1}}+\frac{-\frac{\rho _{2}a+b}{\rho _{1}-\rho _{2}}}{x-\rho _{2}}$ (φυσικά ο τύπος δεν θα απομνημονευθεί αλλά θα ακολουθηθεί η γνωστή πεπατημένη με τα Α,Β.
$\bullet$ $\displaystyle \eta \mu ^{2}x=\frac{1-\sigma \upsilon \nu 2x}{2}$ , $\sigma \upsilon \nu ^{2}x=\frac{1+\sigma \upsilon \nu 2x}{2}$
$\bullet$ $\displaystyle \eta \mu \left( ax\right) \sigma \upsilon \nu \left( bx\right) ,\eta \mu \left( ax\right) \eta \mu \left( bx\right) ,\sigma \upsilon \nu \left( ax\right) \sigma \upsilon \nu \left( bx\right)$ με την βοήθεια των ανπτυγμάτων των $\eta \mu \left( ax\pm bx\right) ,\sigma \upsilon \nu \left( ax\pm bx\right)$
3) Μετά θα χρησιμοποιήσω ένα μάθημα για να μάθω στα παιδιά να βρίσκουν την

από την σχέση $f^{\prime }\left( x\right) +a\left( x\right) f\left( x\right) =b\left( x\right)$ δηλαδή να λύνουν απλές περιπτώσεις γραμμικής διαφορικής εξίωσης 1ης τάξης που ο εξοστρακισμός της από την διδασκαλία έχει ρίξει τόνους βούτυρο στο ψωμί των πάσης φύσεως μεθοδολόγων.
4) Στη συνέχεια θα εισαγάγω την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος χωρίς να μείνω στον ορισμό με τα όρια (και εννοείται ότι δεν θα κάνω καμμία άσκηση) εμμένοντας στο ότι $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)$ και θα αποδείξω όλες τις ιδιότητες που έχει το βιβλίο συν το ολοκλήρωμα και διάταξη που είναι στην τελευταία άσκηση του σχολικού ως ένα άτυπο 114. Δεν θα αποδείξω γιατί δεν δύναμαι ότι κάθε συνεχής είναι ολοκληρώσιμη ούτε τις σχέσεις με την ολοκλήρωση με αντικατάσταση ή κατά παράγοντες που θα γίνει μετά. Αυτό υπολογίζω να πάρει 2 ώρες.
5) Θα αφιερώσω 1 ώρα για να βρίσκουν απλά ολοκληρώματα και μετά 2 ώρες για απλές ασκήσεις με υπολογισμούς ολοκληρωμάτων, παραγωγίσεις ολοκληρωμάτων κτλ
6) Θα διδάξω την ολοκλήρωση κατά παράγοντες και την αλλαγή μεταβλητής. Θα κάνω μετρημένες ασκήσει ςμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες και αναγωγικούς τύπους και επίσης μετά την αλλαγή μεταβλητής θα περάσω σε παραγωγίσεις ολοκληρωμάτων με το

να είναι κρυμμένο σε διάφορες μεριές εναρμονιζόμενος με τα ήθη που έχουν διαμορφώσει ευφάνταστοι θεματοδότες. Αυτά σε 3 ώρες.
7) Μετά θα αφιερώσω αρκετό χρόνο που δεν μπορώ να προσδιορίσω για να κάνω πολλές ασκήσεις ολοκληρωμάτων που αξιοποιούν αυτό το περίπλοκο αντικείμενο που μπορείς να κρεμάς διάφορα πράγματα όπου τραβάει η καρδιά σου. Ενδεικτικά σημεία:
$\int_{\heartsuit }^{\heartsuit }\heartsuit f\left( \heartsuit x\right) dx$
8) Δεν προτίθεμαι να υπολογίσω πολύπλοκα ολοκληρώματα. 'Ετσι και αλλιώς δεν το έκανα και πριν. Θεωρώ ότι είναι άσκοπη κατανάλωση ενέργειας. Για να γίνω πιο ακριβής δεν προτίθεμαι να κάνω υπολογισμούς ορισμένων ολοκληρωμάτων δυσκολότερους από το ΘΕΜΑ 3 β) του 2004. Τα εμβαδά θα τα εντάξω λίγα-λίγα στην "περίοδο" 7) δεδομένου ότι όπως προείπα έχω κάνει τα πολύ βασικά και το θέμα αυτό ουσιαστικά δεν έχει θεωρία.
9) Στο τέλος αφού γίνουν όλα αυτά και έχω παρουσιάσει το θέμα με ένα (φυσικά κατά την γνώμη μου) ανθρώπινο τρόπο θα ζητήσω από τα παιδιά να μάθουν την θεωρία όπως εκτίθεται στο βιβλίο τους. Κλείνω τα μαθήματα μου με μία εξέταση θεωρίας σε όλη την ύλη. Ανεξάρτητα με το πως διδάσκουμε εμείς στην τάξη θεωρώ απαράδεκτο και ανεύθυνο να λέμε στα παιδιά να γράφουν στις εξετάσεις διαφορετικά πράγματα από αυτά που έχει το σχολικό βιβλίο. 'Οσο και να μην συμφωνούμε με αυτά που γράφει, όσο και σπουδαία να θεωρούμε την δική μας γνώμη, τον εαυτό μας ή και τα δύο.
Δεν ξέρουμε ποιος θα βαθμολογήσει τα γραπτά των παιδιών, τι εμμονές έχει και τι γράμματα ξέρει. Εν πάση περιπτώσει αν είναι να παίξουμε με το μέλλον κάποιου ας αφήσουμε το μέλλον των παιδιών στην μπάντα και ας παίξουμε με το δικό μας. Υπάρχουν τρόποι...
10) Τελειώνοντας θα ήθελα να πω ότι αν και δεν συμφωνώ με την αφαίρεση του αορίστου ολοκληρώματος εντούτοις δεν νομίζω ότι ήλθε η συντέλεια του κόσμου ή ότι δεν μπορούμε να διδάξουμε το κεφάλαιο ή ότι πρέπει να βάλουμε τα αόριστα ολοκληρώματα από το παράθυρο. Μπορούμε να διδάξουμε κανονικά απλώς το υποτιθέμενο κέρδος από την αφαίρεση είναι μηδαμινό.
Μαυρογιάννης

Ιστοσελίδα · #9

nsmavrogiannis έγραψε:... Ανεξάρτητα με το πως διδάσκουμε εμείς στην τάξη θεωρώ απαράδεκτο και ανεύθυνο να λέμε στα παιδιά να γράφουν στις εξετάσεις διαφορετικά πράγματα από αυτά που έχει το σχολικό βιβλίο. 'Οσο και να μην συμφωνούμε με αυτά που γράφει, όσο και σπουδαία να θεωρούμε την δική μας γνώμη, τον εαυτό μας ή και τα δύο.
Δεν ξέρουμε ποιος θα βαθμολογήσει τα γραπτά των παιδιών, τι εμμονές έχει και τι γράμματα ξέρει. Εν πάση περιπτώσει αν είναι να παίξουμε με το μέλλον κάποιου ας αφήσουμε το μέλλον των παιδιών στην μπάντα και ας παίξουμε με το δικό μας. Υπάρχουν τρόποι......
...
Μαυρογιάννης

Το σημαντικότερο απ΄' όλα !!!

papos30 · #10

Στο βιβλίο της Α Δέσμης των Κατσαργύρη, Μεντή, Παντελίδη και Σουρλά η διδασκαλία των ολοκληρωμάτων ελάχιστα στηρίζονταν στο αόριστο. Ξεκινούσε με το ορισμένο ολοκλήρωμα και τις ιδιότητές του (γραμμικότητα, μονοτονία , ΘΜΤ Ολοκληρωτικού). Κατόπιν σε μία μόνο παράγραφο αναλύονταν η έννοια της αρχικής και του αόριστου ολοκληρώματος και οι ασκήσεις που τη συνόδευαν ήταν πολύ απλές εφαρμογές. Ακολουθούσε η F(χ) και οι μέθοδοι ολοκλήρωσης , όπου δίνονταν πρώτα οι αποδείξεις για το ορισμένο και μετά αναφέρονταν: ''η αντίστοιχη πρόταση για το αόριστο ολοκλήρωμα έχει τη μορφή ...''.

Επομένως, συμφωνώ πως δεν ήρθε η συντέλεια του κόσμου (εξάλλου έτσι διδάσκονταν παλαιότερα) αλλά βέβαια καταγράφεται και η βιασύνη του υπουργείου να πιάσει τα ... μακροοικονομικά μεγέθη των περικοπών. Όσο για τις οδηγίες του ΠΙ... καλά κρασά.

Όσοι φίλοι έχουν στη βιβλιοθήκη τους το παλιό (καλό κατά την άποψή μου) βιβλίο των Μαθηματικών Α' Δέσμης , ας το ρίξουν μια ματιά ως μπούσουλα.

#11

Νομίζω πως κανένας δε μίλησε για συντέλεια αλλά για ( μία ακόμη φορά) προχειρότητα.
Το βιβλίο αυτό (το πράσινο) είναι και κατά τη δική μου άποψη εξαιρετικό.

#12

Ένα περίγραμμα της πορείας που ακολούθησα στη διδασκαλία του κεφαλαίου μέχρι τώρα είναι το εξής :

α) Έγινε η εισαγωγή στην αρχική και η απόδειξη του θεωρήματος ,παρουσιάστηκε ο κατάλογος των παραγουσών όπως λέει ο οδηγός(έτσι κι αλλιώς τον κάναμε και πριν) και λύθηκαν σε δύο ώρες θεωρητικές ασκήσεις στην παράγουσα.

β)Έκανα μια εισαγωγή στο ορισμένο με την έννοια του εμβαδού(βασικά πράγματα) και ανέπτυξα τις ιδιότητες (ίσα άκρα, αλλαγή άκρων, διάσπαση, γραμμικότητα και διατύπωσα το θεωμελειώδες θεώρημα I=G(b)-G(a), χωρίς απόδειξη.
Αφιέρωσα δυο ώρες πάνω σε αυτή την ενότητα, διότι μπαίνουν και θέματα(αυτά που θέτουμε το ολοκλήρωμα α και ξαναβάζουμε την f(x) στο ολοκλήρωμα για να βρούμε τον τύπο.)

γ ) Στη συνέχεια μπήκα στις μεθόδους υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος , τις δίδαξα μία- μία (από ένα δίωρο στην κάθε μία) και έδειξα και τη μέθοδο ολοκλήρωσης ρητών κλασμάτων. Μέσα στις μεθόδους , ως εφαρμογές τους Θεμελειώδους θεωρήματος έκανα και υπολογιστικά θεωρητικά(αυτά με τα $f^n(x) f'(x) dx , \frac {f'(x)}{f(x)} dx$ κλπ

δ) Στη συνέχεια , αφού έγιναν αρκετές ασκήσεις σε αυτά μπήκα στην α έως χ f(t)dt και από κει και κάτω όλα είναι γνωστά.

Άλλες λεπτομέρειες και αξιόλογες σκέψεις έχει γράψει παραπάνω ο φίλος Νίκος Μαυρογιάννης .Για παράδειγμα , κάτι που συμφωνώ απόλυτα μαζί του, δεν κάνω ποτέ δύσκολα υπολογιστικά θέματα, μια και για τις εξετάσεις είναι άχρηστα. Μόνο ολοκληρώματα ''καλών '' συναρτήσεων παρουσιάζω που έχουν ουσία και όχι δύσκολα τεχνάσματα.

Η παραπάνω τακτική κύλησε ομαλά και απέδωσε.Άλλωστε για τρεις ακόμα μήνες αυτά τα ίδια θα τα κάνουμε κάθε μέρα και σχεδόν σε κάθε θέμα.
Αν δω και κάτι άλλο, τα ξαναλέμε.

Μπάμπης

#13

Μπάμπη εσύ την τελείωσες την ύλη!
Αν ήσουν στα Δωδεκάνησα θα σου έβγαζαν κίτρινη κάρτα οι υπεύθυνοι παρακολούθησης της ύλης!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#14

chris_gatos έγραψε:Μπάμπη εσύ την τελείωσες την ύλη!
Αν ήσουν στα Δωδεκάνησα θα σου έβγαζαν κίτρινη κάρτα οι υπεύθυνοι παρακολούθησης της ύλης!
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Χούμορ κάνω,χούμορ!

Χρήστο, καλά κάνεις και λες κανα αστειάκι, διότι αλλιώς δεν βγαίνει η ζωή !

Λοιπόν , με αφορμή αυτή την παρατήρηση κάνω μια ερώτηση που σίγουρα μας αγγίζει όλους :
πόσο διάστημα έχει ακόμα το σχολείο να βγάλει οργανωμένα την ύλη με όλους τους μαθητές στα θρανία ; Η απάντηση είναι δυστυχώς '' το πολύ ένα μήνα !'' .

Ίσως σε μερικά σχολεία οι μαθητές να συνεχίζουν να έρχονται σχολείο μέχρι το Μάιο, αλλά στο δικό μας και στην ευρύτερη περιοχή, μετά τις 25 μαρτίου, ψάχνουμε με τα κυάλια να βρούμε μαθητή να μας παρακολουθήσει !
Έρχονται μόνο αυτοί που έχουν 49 αδικαιολόγητες απουσίες και μέσο όρο στα τετράμηνα 11,2 ! Δεν νομίζω ότι με αυτούς τους μαθητές επιτελούμε έργο !
Αποσπασματικά έρχονται που και που μερικοί καλοί, αλλά τι να πρωτοκάνεις με αυτούς όταν έχει κοπεί η ροή ; Ο καθένας είναι στον κόσμο του, διαβάζει άλλα πράγματα και μέχρι να τον βάλεις σε ρυθμό, χτυπάει το κουδούνι και τον χάνεις.

Μια χρονιά έτυχε να είναι από τη γειτονιά του σχολείου 4-5 καλοί μαθητές και έρχονταν στις ώρες τον κατευθύνσεων. Κάναμε καλή δουλειά, με ωραία επαναληπτικά θέματα, οργάνωση της θεωρίας και όλα αυτά που όλοι μας κάνουμε όταν έχουμε μαθητές.Από τότε όμως δεν ξαναέτυχε. Πολλά παιδιά έρχονται από χωριά και το λένε ξεκάθαρα :''Κυριε θέλουμε να έρθουμε, αλλά θα χάσουμε όλη τη μέρα.Το λεωφορείο ξαναφεύγει στις 2, θα είμαστε σπίτι στις δυομισυ, μετά ξανά φροντιστήριο '' κλπ.
Αυτός είναι ο λόγος που πολλοί συνάδελφοι σε πολλά σχολεία τρέχουν. Φυσικά , με το τρέξομο πάλι δεν γίνεται η δουλειά όπως πρέπει, δε χωράει αμφιβολία.

Μάλλον η Γ΄Λυκείου έπρεπε επίσημα να σταματάει το σχολείο στις 30 Μαρτίου, η ύλη να είναι πιο μικρή και το όριο των απουσιών να είναι 20 αδικαιολόγητες και 30 δικαιολογημένες.
Διαφορετικά να μην μπαίνουν καθόλου απουσίες, μια και η κοροϊδία με τα ψεύτικα δικαιολογητικά , τους γιατρούς και τα εκατομμύρια που χάνονται με πλασματικές οξείες τεμπελιτιδες , δεν έχει προηγούμενο !

Με αυτό το σκεπτικό , μάλλον θα έπρεπε να είμαστε στο ολοκλήρωμα !
Δε βλέπω όμως κανένας υπεύθυνος να θίγει δημόσια το θέμα και όλοι συνεχίζουν τον ύπνο του δικαίου ! Όλοι δείχνουν ευχαριστημένοι και αφού είναι αυτοί, μήπως πρέπει να είμαστε τελικά και μεις ; Δεν μπορώ να απαντήσω !

Μπάμπης

pana1333 · #15

Καλημέρα σε όλους....

Να πω και εγώ μια γνώμη.....όσο αφορά στο τι ""πρέπει"" να διδαχθεί για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρώματων.

1) Υπολογισμός μέσω εύρεσης αρχικής συνάρτησης και χρήση θεμελιώδους θεωρήματος.

2) Σελ 309 σχολικού βιβλίου

Μέθοδοι ολοκλήρωσης.

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες.
Ολοκλήρωση με αντικατάσταση.

Επίσης........

Ρητά Ολοκληρώματα

Άσκηση 2 Σελ 352 Γενικές ασκήσεις (ρητό ολοκλήρωμα)
μόνο για γινόμενο πρωτοβάθμιων παράγοντες (ή για τριώνυμο με Δ>0)

(Όλες οι άλλες περιπτώσεις με πολλαπλότητες αρνητικές διακρίνουσες και και και είναι και ήταν (προσωπική μου άποψη) πάντα περιττές ).

Νομίζω ότι σε πολλά σημεία (το καταλαβαίνω λόγο "λογικής" πληρότητας) τα σχολικά βοηθήματα ξεφεύγουν απο το στόχο.....και απο το σχολικό βιβλίο....

Τριγωνομετρικά

Το σχολικό έχει μόνο τριγωνομετρικά στα πλαίσια των μεθόδων, κατα παράγοντες Άσκηση 7ιι Σελ 339, με αντικατάσταση άσκηση 9iv) σελ 339 και άσκηση 1 Σελ 352 γενικές και απλή χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων $\eta \mu ^{2}\left(x \right)+\sigma \upsilon \nu ^{2}\left(x \right)=1$ και $\eta \mu ^{2}\left(x \right)-\sigma \upsilon \nu ^{2}\left(x \right)=\eta \mu 2x$ άσκηση 10 Σελ 340.

Άντε και από τα τριγωνομετρικά (βαριά) μόνο τις περιπτώσεις που αναφέρει πιο πάνω ο κ. Μαυρόγιαννης.

Νομίζω ότι τα παραπάνω είναι υπέρ' αρκετά κρίνοντας και από τα θέματα των εξετάσεων τα τελευταία χρόνια

Α.Κυριακόπουλος · #16

Ορισμένα ολοκληρώματα.Μια πρόταση για τη διδασκαλία τους.

Θέλω να τονίσω, για μια ακόμη φορά, ότι πολύ καλά έκαναν και αφαίρεσαν τα αόριστα ολοκληρώματα από την Γ΄ τάξη του Λυκείου ( βλέπε εδώ . Τα μαθηματικά δεν είναι θέμα γνώμης, όσο σπουδαίο και αν θεωρεί κάποιος τον εαυτόν του).
Βέβαια το σωστό θα ήταν να αλλάξουν πρώτα τα βιβλία. Αλλά δυστυχώς στην Ελλάδα είμαστε ( βλέπε εδώ Είναι λυπηρό που πολλές φορές είναι παρούσα η δικτατορία της μετριότητας).
• Ανεξάρτητα απ' όλα αυτά, στο συνημμένο έχω ένα πλάνο για τη διδασκαλία των ορισμένων ολοκληρωμάτων (χωρίς τα αόριστα ολοκληρώματα). Το πλάνο αυτό το έχω στείλει στο Π.Ι., σε έναν φίλο μου, καθηγητή Πανεπιστημίου, ο οποίος είναι μεταξύ αυτών που κανονίζουν την ύλη που θα διδαχθεί στα Λύκεια, καθώς και σε μερικούς Σχολικούς Συμβούλους .
• Θα ήθελα ακόμα να σας ενημερώσω ότι στο τεύχος 80 του περιοδικού Ευκλείδης Β΄ της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας θα δημοσιευθεί μια εργασία, την οποία έχουμε γράψει εγώ και ο σχολικός σύμβουλος κ. Γιώργος Τασσόπουλος, με τίτλο:
« ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΑ ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: $\displaystyle{g(x) = \int\limits_\alpha ^\beta {f(x,t)dt} }$ »
Στο άρθρο αυτό αναπτύσσονται οι τρόποι εφαρμογής του θεωρήματος αντικατάστασης. Την εργασία αυτή, μετά την δημοσίευση στο περιοδικό, θα την αναρτήσω και εδώ στο mathematica.

Εύχομαι καλό μάθημα στους μαχόμενους συναδέλφους.

Ορισμένα ολοκληρώματα.pdf: (95.15 KiB) Μεταφορτώθηκε 448 φορές

killbill · #17

Ευχαριστούμε για τα αρχεία. Μια διόρθωση: στα (5) & (6) από τις σύνθετες μορφές εκ παραδρομής έχει παραληφθεί η f(x). Είναι δηλαδή -συνf(x)+c και ημf(x)+c

killbill · #18

Ας αναφέρω και εγώ την δομή που θα ακολουθήσω:

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Αρχική συνάρτηση
εδώ θα λύσω και όλες τις σχετικές ασκήσεις του βιβλίου αγνοώντας το σύμβολο του αορίστου ολοκληρώματος. Επίσης θα λύσω και ασκήσεις που αφορούν πρακτικά προβλήματα (ρυθμός μεταβολής κόστους κλπ), χωρίς την χρήση του συμβόλου του αορίστου ολοκληρώματος.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα - Ιδιότητες
Εδώ αναφέρω τις ιδιότητες (ολοκλήρωση σταθεράς επί συνάρτησης, άθροιση συναρτήσεων κλπ) και λύνω ασκήσεις που αφορούν υπολογισμούς ορισμένων ολοκληρωμάτων με αποκλειστική χρήση αυτών των ιδιοτήτων

ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Θεμελειώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού
Εδώ αναφέρω αρχικά την έννοια της συνάρτησης F(x)= $\int_{a}^{x}{f(x)dt}$ , μόνο και μόνο για να κάνω την απόδειξη του θεωρήματος, χωρίς να λύσω καμία άσκηση πάνω σε αυτήν την συνάρτηση και τις μορφές της. Αυτό θα γίνει σε ξεχωριστή ενότητα
Δεν θα λυθούν εδώ ασκήσεις πάνω στην F(x) γιατί αυτό προκαλεί σύγχυση σε αυτό το σημείο. Ακολουθούν ασκήσεις υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων αποκλειστικά από το θεμελειώδες θεώρημα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
Εδώ αναφέρω αρχικά μεθόδους ολοκλήρωσης ρητών, τριγωνομετρικών και τέλος
την μέθοδο κατά παράγοντες & με αντικατάσταση.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5:Ανισοτικές σχέσεις με ολοκληρώματα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Η συνάρτηση F(x)= $\int_{a}^{x}{f(x)dt}$ ,
Εδώ μελετάω με περισσότερη λεπτομέρεια την συνάρτηση αυτή. Κάνω ασκήσεις όπόυ και τα δύο άκρα είναι συναρτήσεις κλπ

ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Εμβαδά

Σημείωση: Όλες οι ασκήσεις του βιβλίου από τις παραγράφους που είναι εκτός ύλης, θα τις λύσω τροποποιημένες είτε εισάγοντας ενδεικτικά το σύμβολο ορισμένου ολοκληρώματος, είτε σκεπτόμενοι απλα την παράγουσα συνάρτηση χωρίς τον συμβολισμό του αορίστου.

Τέλος, να πω και εγώ την ταπεινή μου γνώμη ότι συμφωνώ 100% που έφυγε το αόριστο ολοκλήρωμα και έτσι η διδασκαλία γίνεται πιο ομαλά και πιο φιλικά προς τον μαθητή, δηλαδή κατευθείαν με την έννοια του εμβαδού και της διαμέρισης, όπως δηλαδή και την εποχή των δεσμών. Θεωρώ πολύ "βίαιο" για τον μαθητή να του πεις ότι την παράγουσα μιας συνάρτησης αντί να την συμβολίσεις με F(x) όπως και όλες οι συναρτήσεις του κόσμου , θα πρέπει να την συμβολίζεις με \int f(x)dx ! Δεν είναι και ότι πιο φιλικό. Αντίθετα, εισάγοντας την έννοια της διαμέρισης, ο μαθητής αμέσω καταλαβαίνει την έννοια των συμβόλων αυτών, καταλαβαίνει δηλαδή ότι το Σ έγινε \int και το Δχ έγινε dx

Κώστας Μαλλιάκας · #19

chris_gatos έγραψε:Μπάμπη εσύ την τελείωσες την ύλη!
Αν ήσουν στα Δωδεκάνησα θα σου έβγαζαν κίτρινη κάρτα οι υπεύθυνοι παρακολούθησης της ύλης!
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Χούμορ κάνω,χούμορ!

Χρήστο, γειά σου και ελπίζω να είσαι καλά.
Επειδή τυγχάνει και είμαι εγώ, εδώ και δύο χρόνια, υπεύθυνος παρακολούθησης ύλης των Μαθηματικών στην Δωδεκάνησο θέλω να μου διευκρινήσεις τι εννοείς...
Για το τέλος Φεβρουαρίου έδωσα για κατεύθνση τέλος του διαφορικού λογισμού με την πρόταση όποιος είναι από Ασύμπτωτες έως και αρχική να θεωρηθεί εντός φυσιολογικών ορίων και στην γενική παιδεία τέλος στατιστικής ή και αρχή πιθανοτήτων γιατί σαν σελίδες μεσολαβούν αρκετές που είναι εκτός ύλης. Για την κατεύθυνση μάλιστα στο σχολεία μας δώσαμε ασύμπτωτες - DL και θεωρηθήκαμε και εμείς λίγο πίσω αλλά δεν υπάρχει ανησυχία γιατί έχουμε προβλέψει πώς θα βγει η ύλη.Δεν καταλαβαίνω αν θεωρείς σωστό το ότι θα έπρεπε να βγεί η ύλη τώρα αφού αν θυμάσαι σε άλλο θέμα κοντά στα Χριστούγεννα κάποιοι δήλωναν ότι βρίσκονται αρχές συνέχειας, ή αν εννοείς ότι δήλωσα πολύ μπροστά. Νομίζω ότι τώρα που εγώ μπήκα στον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος είναι καλά και αν κάποιος διαφωνεί το συζητάμε. Πάντως δεν σου έχω δώσει εγώ κίτρινη κάρτα ...

Κώστας Μαλλιάκας · #20

chris_gatos έγραψε:Μπάμπη εσύ την τελείωσες την ύλη!
Αν ήσουν στα Δωδεκάνησα θα σου έβγαζαν κίτρινη κάρτα οι υπεύθυνοι παρακολούθησης της ύλης!
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Χούμορ κάνω,χούμορ!

Χρήστο επανέρχομαι...
Μόλις τώρα είδα στον πίνακα παρακολούθησης ύλης που μου έστειλαν από την Διεύθυνση ότι τέλος Φεβρουαρίου ήσουν σελίδα 241 στην κατεύθυνση και σελίδα 88 στην γενική παιδεία οπότε φαίνεται ότι καθυστερείς λίγο σύμφωνα με την πρόταση μου που και εγώ καθυστερώ λίγο αφού δήλωσα σελίδα 272 στην κατεύθυνση. Αλλά να ξέρεις ότι δεν είναι κίτρινη κάρτα αυτό που σου έστειλαν απλώς για να υπάρξει συντονισμός κάποια σελίδα ενδιάμεση πρέπει να προτείνουμε. Να ξέρεις ότι αρκετά σχολεία δήλωσαν σελίδες 332 , 334, 335 και μάλιστα και κεντρικά...Αν εσύ δεν έχεις το πρόβλημα της μεγάλης φυγής μπορείς να ολοκληρώσεις την ύλη σου έως τέλη Απριλίου γνωρίζοντας και τις ανάγκεςτων μαθητών σου. Εδώ προσπαθούμε να βρούμε την χρυσή τομή και κάποιοι συμφωνούν και κάποιοι διαφωνούν...
Τα γράφω εδώ για να ακούσω και άλλες απόψεις αλλά και πειράκτηκα λίγο με το μήνυμα σου γιατί τυγχάνει να είμαι υπεύθυνος και υπόλογος...

Διδασκαλια Ολοκληρωματων-Προτάσεις

Διδασκαλια Ολοκληρωματων-Προτάσεις

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Ορισμένα ολοκληρώματα.Μια πρόταση για τη διδασκαλία τους.

Re: Ορισμένα ολοκληρώματα.Μια πρόταση για τη διδασκαλία τους

Re: Ορισμένα ολοκληρώματα.Μια πρόταση για τη διδασκαλία τους

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Re: διδασκαλια ολοκληρωματων

Μέλη σε σύνδεση