Ένα κριτήριο κυρτότητας

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και η οικογένεια συναρτήσεων $\{g_a\}_{a\in\mathbb{R}}$
με $g_a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και g_a(x)=f(x+a)-f(x)

.

Να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

$f^\prime$ γνησίως αύξουσα $\color{red}\Leftrightarrow$ $\forall a>0\$ $\ g_a\$ γνησίως αύξουσα

Σημείωση: ο τίτλος του θέματος παραπέμπει στην ειδική περίπτωση κυρτότητας που εξετάζεται στο σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου.

#2

Μιας και βρισκόμαστε σε αυτό τον φάκελο θα χρησιμοποιήσω κάποια στοιχεία εκτός σχολικού.

Μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$ θα λέγεται αυστηρώς κατά τα μέσα κυρτή αν κάθε x<y

ισχύει
$\displaystyle{f\left( \frac{x+y}{2}\right) < \frac{f\left( x\right) +f\left( y\right) }{2}\,\,\,\,(1)}$ .
Η ορολογία δεν είναι δόκιμη. Το "κατά τα μέσα κυρτή" εκφράζει το midpoint convex στο οποίο όμως η ανισότητα στην (1)

μπορεί και να μην είναι γνήσια. Μπορεί να αποδειχθεί ότι
Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι αυστηρώς κατά τα μέσα κυρτή αν και μόνο αν είναι κυρτή με τον ορισμό του σχολικού.
Σχετικά στοιχεία στο
https://math.stackexchange.com/question ... ies-convex
καθώς και στο
http://nsmavrogiannis.gr/Mavrogiannis_C ... ns_v01.pdf παρ. 2.3.

Για την απόδειξη τώρα
$\bullet$ Αν η

είναι γνησίως αύξουσα τότε για a>0

είναι

και $f^{\prime }\left( x\right) <f^{\prime }\left( x+a\right)$ από την οποία συνάγουμε ότι $g_{a}^{\prime }\left( x\right) >0$ και επομένως η $g_{a}$ είναι γνησίως αύξουσα.
$\bullet$ Αντιστρόφως τώρα αν υποτεθεί ότι όλες οι $g_{a}$ για για a>0

είναι γνησίως αύξουσες τότε θεωρούμε x<y

, παίρνουμε $a=\frac{y-x}{2}>0$ και αξιοποιώντας την μονοτονία της $g_{a}$ έχουμε
$\displaystyle{g_{a}\left( x\right) <g_{a}\left( \frac{x+y}{2}\right) }$
δηλαδή
$f\left( x+\frac{y-x}{2}\right) -f\left( x\right) <f\left( \frac{x+y}{2}+\frac{y-x}{2}\right) -f\left( \frac{x+y}{2}\right)$
που είναι η (1)

. Άρα η

είναι κυρτή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 03, 2024 7:32 am
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και η οικογένεια συναρτήσεων $\{g_a\}_{a\in\mathbb{R}}$
με $g_a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και .

Να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

$f^\prime$ γνησίως αύξουσα $\color{red}\Leftrightarrow$ $\forall a>0\$ $\ g_a\$ γνησίως αύξουσα

Σημείωση: ο τίτλος του θέματος παραπέμπει στην ειδική περίπτωση κυρτότητας που εξετάζεται στο σχολικό βιβλίο της Γ' Λυκείου.

Εστω ότι $\forall a>0\$ $\ g_a\$ γνησίως αύξουσα.
Προκύπτει ότι η $f^\prime$ είναι αύξουσα.
Αν δεν ήταν γνησίως αύξουσα τότε θα υπήρχε διάστημα που είναι σταθερή.
Τότε σε αυτό το διάστημα η

θα είναι γραμμική.
ΑΤΟΠΟ γιατί στο διάστημα αυτό η $\ g_a\$ θα ήταν σταθερή .

Ένα κριτήριο κυρτότητας

Ένα κριτήριο κυρτότητας

Re: Ένα κριτήριο κυρτότητας

Re: Ένα κριτήριο κυρτότητας

Μέλη σε σύνδεση