Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

#1

Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ρίζες της εξίσωσης
$\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0$
Ποιό είναι το εμβαδόν του;

Tolaso J Kos · #2

Νίκο,

δε καταλαβαίνω την ερώτηση.

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 30, 2023 12:10 pm
Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ρίζες της εξίσωσης
$\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0$
Ποιό είναι το εμβαδόν του;

Γνωρίζω ότι αν

είναι η ημιπερίμετρος ,

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και

του παραγεγραμμένου κύκλου τότε οι ρίζες της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3-2px^2+\left( p^2+r^2+4rR \right)x-4prR=0}$
είναι οι πλευρές του τριγώνου a,b,c

. Είναι ακόμη E=pr

και

.

Ζητάς κάτι όπως τα παραπάνω; Κάτι άλλο; Υποψιάζομαι ότι κάτι με τύπος Vieta θέλεις να θίξεις με αυτή την ανάρτηση.

#3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 30, 2023 12:10 pm
Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ρίζες της εξίσωσης
$\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta =0$
Ποιό είναι το εμβαδόν του;

Έστω

οι πλευρές του τριγώνου και

το εμβαδόν του. Με τον τύπο του Ήρωνα

και μετά τις πράξεις βρίσκω $\displaystyle {E^2} = \frac{1}{{16}}(2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2} - {x^4} - {y^4} - {z^4})$ (1)

Εξάλλου με τους τύπους Vieta είναι $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} x + y + z = - \frac{b}{a} \hfill \\ xy + yz + xz = \frac{c}{a} \hfill \\ xyz = - \frac{d}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} = {(x + y + z)^2} - 2(xy + yz + xz) = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{2c}}{a} = \frac{{{b^2} - 2ac}}{{{a^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {x^2}{z^2} = {(xy + yz + xz)^2} - 2xyz(x + y + z) = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{2bd}}{{{a^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {x^4} + {y^4} + {z^4} = {({x^2} + {y^2} + {z^2})^2} - 2({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}) = {\left( {\frac{{{b^2} - 2ac}}{{{a^2}}}} \right)^2} - 2\left( {\frac{{{c^2} - 2bd}}{{{a^2}}}} \right)$

Αν τώρα αντικαταστήσουμε στην (1)

παίρνουμε μετά τις πράξεις $\boxed{ E = \frac{{\sqrt {4a{b^2}c - 8{a^2}bd - {b^4}} }}{{4{a^2}}}}$

ksofsa · #4

Καλησπέρα.

Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο (εκτός σχολικής ύλης), το οποίο ενδεχομένως κάποιες φορές να βοηθάει στους υπολογισμούς.

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα:

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{d}{a}&-\frac{c}{a} &-\frac{b}{a} \end{bmatrix}$ (companion matrix).

Επομένως , για τις ιδιοτιμές-ρίζες $p_{1},p_{2},p_{3}$ , ισχύει:

$p_{1}^n+p_{2}^n+p_{3}^n=tr(A^n)$

και η κρίσιμη ποσότητα για τον υπολογισμό του εμβαδού γράφεται:

$2(p_{1}^2p_{2}^2+p_{2}^2p_{3}^2+p_{3}^2p_{1}^2)-(p_{1}^4+p_{2}^4+p_{3}^4)=(p_{1}^2+p_{2}^2+p_{3}^2)^2-2(p_{1}^4+p_{2}^4+p_{3}^4)=(tr(A^2))^2-2tr(A^4)$ .

Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

Re: Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

Re: Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

Re: Εμβαδόν τριγώνου από εξίσωση πλευρών.

Μέλη σε σύνδεση