Εύρεση Πεδίου Τιμών

#1

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω $\displaystyle f:\left[ {1,\;3} \right) \to R,\;\;\;f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 6$ .

Εύκολα βρίσκουμε (με παραγώγους στη Γ΄ Λυκείου ή με τη μέθοδο του τριωνύμου σε μικρότερες τάξεις) ότι το Πεδίο Τιμών της είναι το $\displaystyle \left[ {12,\;30} \right)$ .

Παρατηρώ ότι ισχύει: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 1 \le x < 3 \Leftrightarrow 1 \le {x^2} < 9\;\;\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ 1 \le x < 3 \Leftrightarrow 5 \le 5x < 15\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε

$\displaystyle 6 \le {x^2} + 5x < 24 \Leftrightarrow 12 \le {x^2} + 5x + 6 < 30$ ,

οπότε «φαίνεται ότι» το θα μπορούσαμε να βρούμε απλούστερα το Πεδίο Τιμών της με τη «μέθοδο των ανισώσεων».

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle f:\left[ {2,4} \right) \to R,\;\;f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$ .

Το Πεδίο Τιμών της είναι $\displaystyle f\left( A \right) = \left[ { - 1,\;3} \right)$ .

Παρατηρώ ότι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2 \le x < 4 \Leftrightarrow 4 \le {x^2} < 16\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ 2 \le x < 4 \Leftrightarrow - 16 < - 4x \le - 8\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε

$\displaystyle - 12 < {x^2} - 4x < 8 \Leftrightarrow - 9 < {x^2} - 4x + 3 < 11$ ,

άρα το Πεδίο Τιμών της είναι υποσύνολο του (-9, 11)

, αλλά δεν ταυτίζεται μ’ αυτό.

Ας ξεκινήσουμε από Β΄ βάθμιες συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα.

1) Πώς θα εξηγούσατε σε μαθητές γιατί δεν λειτουργεί πάντα η "μέθοδος των ανισώσεων";

2)Υπάρχει περίπτωση το Π.Τ. της

να μην είναι υποσύνολο του διαστήματος που δίνει η πρόσθεση των ανισώσεων;

3) Θα μπορούσαμε να βρούμε ποιες περιπτώσεις λειτουργεί;

ΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΔΕΝ ΤΟ ΕΧΩ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΕΙ:
Θα μπορούσαμε να επεκταθούμε και σε άλλες συναρτήσεις ή για συναρτήσεις ορισμένες σε ένωση διαστημάτων;
Πιστεύετε ότι έχει διδακτική αξία κάτι τέτοιο;

Christos.N · #2

Γιώργο καλημέρα !

Βλέπω ότι κρύβεται η εξής ιδέα την οποία αποδίδω ελεύθερα παρακάτω υποθέτοντας ότι ισχύουν σε διάστημα της πραγματικής ευθείας:

Γενικότερα

$\displaystyle \left. \begin{gathered} f(x) \geqslant f\left( {{x_0}} \right) \hfill \\ g\left( x \right) \geqslant g\left( {{x^*}_0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( x \right) \geqslant f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x^*}_0} \right)$

Ειδικά όμως $\displaystyle \left( {f + g} \right)\left( x \right) \geqslant \mathop {\min }\limits_{x \in A} \left( {f + g} \right)\left( x \right)$

Γενικότερα θα μπορούσαμε να πούμε το πιο ισχυρό (βέβαιο): $\displaystyle \left( {f + g} \right)\left( x \right) \geqslant \mathop {\inf }\limits_{x \in A} \left( {f + g} \right)\left( x \right)$ με κατάλληλες θεωρήσεις.

Όμως γνωρίζουμε ότι ισχύει $\displaystyle \mathop {\inf }\limits_{x \in A} \left( {f + g} \right)\left( x \right) \geqslant f\left( x \right) + g\left( y \right),\forall \left( {x,y} \right) \in {A^2}$

Νομίζω ότι καλύπτω το 2. το 1. είναι ζητούμενο ... αλλά μπορούν να περιγραφούν οι παραπάνω ιδέες σε κάπως μεγαλύτερες τάξεις , για το 3. νομίζω ότι θα πρέπει να ψάξουμε ενώσεις διαστημάτων.

dement · #3

Καλημέρα Γιώργο. Θα μπορούσε ίσως κανείς να το δει και σαν μια ωραία ευκαιρία να ξεκαθαρίσει τη διαφορά μεταξύ απλής συνεπαγωγής και ισοδυναμίας.

Ψάχνοντας το πεδίο τιμών, ψάχνουμε στην ουσία το μοναδικό σύνολο

για το οποίο ισχύει $x \in D \Leftrightarrow f(x) \in R$ .

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, έχουμε πράγματι τις ισοδυναμίες $x \in D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 \leqslant x^2 \leq 16 \\ x \in D \\ \end{array}$ και $x \in D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -16 < -4x \leqslant -8 \\ x \in D \\ \end{array}$

Προσθέτοντας, όμως, κατά μέλη, η ισοδυναμία χάνεται και μένουμε με τη συνεπαγωγή

$\left. \begin{array}{r} 4 \leqslant x^2 < 16 \\ -16 < -4x \leqslant -8 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow -9 < x^2 - 4x + 3 < 11$

Έτσι, καταλήγουμε στο (ορθό αλλά ελλιπές) συμπέρασμα $x \in D \Rightarrow f(x) \in R' = (-9,11)$ το οποίο, μη όντας ισοδυναμία, μας εξασφαλίζει μόνο ότι $R \subseteq R'$ .

#4

Χρήστο και Δημήτρη, σάς ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκρισή σας.

Η δική μου προσέγγιση είναι η εξής:
Στο δεύτερο παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας με

αλλάξαμε τη φορά της ανίσωσης, οπότε ενώ η συνάρτηση $\displaystyle y = {x^2}$ με $\displaystyle x \in \left[ {2,4} \right)$ παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με 4 όταν x = 2

, αντίθετα η συνάρτηση y = –4x

με $\displaystyle x \in \left[ {2,4} \right)$ τείνει να πάρει την ελάχιστή τιμή της, που είναι

, όταν το

τείνει στην τιμή

, άρα το άθροισμά τους $\displaystyle y = {x^2} + \left( { - 4x} \right)$ δεν παίρνει για την ίδια τιμή του

το ελάχιστό του.

Επίσης θα ανέφερα το εξής στους μαθητές:
Για την εύρεση των μεγίστων και ελαχίστων μιας συναρτήσεως δεν αρκεί να αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη η μικρότερη από κάποιον αριθμό

(κάτω ή άνω φράγμα). Θα πρέπει να αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν τιμές στο Πεδίο Ορισμού της για τις οποίες η συνάρτηση παίρνει την τιμή

.
Π.χ. για τη συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 4}}$ παρατηρούμε ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής της είναι θετικοί αριθμοί, άρα το

είναι ένα κάτω φράγμα της, αλλά δεν είναι ελάχιστο, αφού δεν υπάρχει τιμή του

για την οποία να είναι f(x) = 0

.

Με ενδιαφέρει ακριβώς αυτό το σημείο που αναφέρει ο Δημήτρης εδώ:

dement έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 04, 2018 3:14 pm
Προσθέτοντας, όμως, κατά μέλη, η ισοδυναμία χάνεται και μένουμε με τη συνεπαγωγή
Έτσι, καταλήγουμε στο (ορθό αλλά ελλιπές) συμπέρασμα $x \in D \Rightarrow f(x) \in R' = (-9,11)$ το οποίο, μη όντας ισοδυναμία, μας εξασφαλίζει μόνο ότι $R \subseteq R'$ .

Να πείσω τους μαθητές θέλω "γιατί χάνεται η ισοδυναμία;"

Το συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα, βέβαια αρκεί,αλλά θα προτιμούσα να το τεκμηριώσω θεωρητικά.

Σάς ευχαριστώ και πάλι.

Εύρεση Πεδίου Τιμών

Εύρεση Πεδίου Τιμών

Re: Εύρεση Πεδίου Τιμών

Re: Εύρεση Πεδίου Τιμών

Re: Εύρεση Πεδίου Τιμών

Μέλη σε σύνδεση