Euler 2017/2

#1

Σε ποια σημεία λαμβάνει η συνάρτηση

$\displaystyle{ f(x) = \int_0^{x^2} e^{-\sin{t}} \ln\left(\frac{t}{9} \right) \, \mathrm{d}t}$

το ολικό της ελάχιστο;

#2

Demetres έγραψε:Σε ποια σημεία λαμβάνει η συνάρτηση

$\displaystyle{ f(x) = \int_0^{x^2} e^{-\sin{t}} \ln\left(\frac{t}{9} \right) \, \mathrm{d}t}$

το ολικό της ελάχιστο;

Επειδή είναι άρτια, μπορούμε να εργαστούμε για $x\ge 0$ . Επειδή η προς ολοκλήρωση είναι αρνητική πριν το x^2=9

(λόγω λογαρίθμου) και θετική μετά, σημαίνει ότι η

είναι τελικά αύξουσα. Άρα το ολικό της ελάχιστο, αν υπάρχει, είναι στο [0,3]

. Φυσικά το ολικό ελάχιστο υπάρχει αφού εργαζόμαστε με συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα.

Παραγωγίζοντας είναι

Είναι $f'(x) = 2xe^{-\sin{x^2}} \ln\left(\frac{x^2}{9} \right) =4xe^{-\sin{x^2}} \ln\left(\frac{x}{3}\right)$ που μηδενίζεται στο

(δεν μας ενδιαφέρει) ενώ είναι αρνητική στο εσωτερικό του [0,3]

(άμεσο αφού ορισμένοι παράγοντες είναι πάντα θετικοί ενώ ο λογάριθμος αρνητικός).

Άρα έχουμε ολικό ελάχιστο στο x=3

, και στο συμμετρικό του

.

#3

Και στην επίσημη λύση το κάνει με παραγώγιση αλλά δεν χρειάζεται!

Για x > 3

έχουμε $\displaystyle{ f(x) - f(3) = \int_{9}^{x^2} e^{-\sin{t}} \ln\left(\frac{t}{9}\right) \, \mathrm{d}t > 0.}$

Ομοίως, για $0 \leqslant x < 3$ έχουμε $\displaystyle{ f(x) - f(3) = -\int_{x^2}^{9} e^{-\sin{t}} \ln\left(\frac{t}{9}\right) \, \mathrm{d}t > 0.}$

Χρησιμοποιώντας και την αρτιότητα της συνάρτησης λαμβάνουμε το αποτέλεσμα.

#4

Demetres έγραψε:Και στην επίσημη λύση το κάνει με παραγώγιση αλλά δεν χρειάζεται!

Πολύ ωραία λύση.

Παραγώγισα για να προσδιορίσω το σημείο του ελαχίστου, που τελικά μπορεί να γίνει και χωρίς. Τύφλα μου δεδομένου ότι η λύση μου έχει όλα τα απαραίτητα στοιχεία, μαζί με τα περιττά.

Δημήτρη, ευχαριστούμε.

#5

Και εγώ έτσι την έλυσα στην αρχή αφού αυτή είναι η φυσιολογική προσέγγιση.

Πρόσθεσα στις λέξεις κλειδία και τον κανόνα του Leibniz μιας και χρησιμεύει για την παραγώγιση.

Euler 2017/2

Euler 2017/2

Re: Euler 2017/2

Re: Euler 2017/2

Re: Euler 2017/2

Re: Euler 2017/2

Μέλη σε σύνδεση