Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

[Soteris]

Πρόβλημα 1

Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

Πότε ισχύει η ισότητα;

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το αντιδιαμετρικό του . Σημειώνουμε με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α)

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο προς την διέρχεται από το μέσο του .

Πρόβλημα 3

Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί , με:

Να προσδιορίσετε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού .

Πρόβλημα 4

Έχουμε δύο στοίβες με και νομίσματα, αντίστοιχα. Δύο παίκτες, η Άννα και ο Βασίλης, παίζουν ένα παιχνίδι παίρνοντας νομίσματα εναλλάξ, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ο παίκτης, του οποίου είναι η σειρά να παίξει, επιλέγει μία στοίβα που έχει τουλάχιστον δύο νομίσματα, παίρνει από αυτήν νομίσματα, όπου , και τοποθετεί στην άλλη στοίβα ένα νόμισμα. Οι παίκτες μπορούν, αν επιθυμούν, να επιλέγουν διαφορετικό και διαφορετική στοίβα σε κάθε γύρο και ο παίκτης που δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι, σύμφωνα με τον κανόνα, χάνει. Αν η Άννα παίζει πρώτη, να προσδιορίσετε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.

[george visvikis]

Πρόβλημα 1

Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

Πότε ισχύει η ισότητα;

Είναι,

Η ισότητα ισχύει όταν και στη συνέχεια εύκολα

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Πρόβλημα 1

Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

Πότε ισχύει η ισότητα;

Eφαρμόζουμε την πασίγνωστη ανισότητα , όπου θετικά ,τρεις φορές...
Έχουμε ότι




Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις τρεις παραπάνω ανισότητες καταλήγουμε εύκολα στη ζητούμενη.

Με πρόλαβε ο Γιώργος , δεν πειράζει...

[george visvikis]

Για κάποιο λόγο η δημοσίευσή μου αναρτήθηκε τρεις φορές. Όποιος μπορεί ας διαγράψει τις δύο.

[sokpanvas]

Πρόβλημα 3
τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του εμφανίζονται περιοδικά με σείρα αντίστοιχα για το τα για το τα και για το μόνο το .
και άρα το τελειώνει σε ,το σε ,το σε και το σε άρα το τελειώνει σε . άρα το τελειώνει σε άρα το σε . Το τελειώνει σε το σε και το σε δηλαδή το τελείωνει σε

[george visvikis]

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το αντιδιαμετρικό του . Σημειώνουμε με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α)

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο προς την διέρχεται από το μέσο του .

Γ' Παγκύπριος JBΜΟ 2018.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 1435 φορές

α)

β) Από το α) ερώτημα το είναι εγγράψιμο, άρα:

οπότε το είναι ισοσκελές και Θα δείξω ότι το είναι μέσο του Αρκεί να δείξω ότι το

είναι ορθόκεντρο του Πράγματι, (ενώνει τα μέσα των πλευρών), άρα και το ζητούμενο έπεται.