Το κλειδί για την απόδειξη εδώ είναι ότι οι χορδέςS.E.Louridas έγραψε:...● Για την Β΄λυκείου:
Όλοι γνωρίζουν ότι δύο ίσες χορδές κύκλου ορίζουν πάντα ισοσκελές τραπέζιο είτε σε ρόλο διαγώνιων του είτε σε ρόλο των ίσων σκελών. Άρα έχουμε:
του περίκυκλου 
του δοσμένου τριγώνου 
είναι ίσες γιατί ισαπέχουν του κέντρου του 
= το ισαπέχει από αυτές 
ως εφαπτόμενες ευθείες του κύκλου 
με κέντρο το και ακτίνα 
. To εγγεγραμμένo τώρα τετράπλευρo
είναι ισοσκελές τραπέζιο με 
αφού έχει ίσες διαγώνιες και ομοίως το 
είναι επίσης ισοσκελές τραπέζιο με 
Άρα, το τετράπλευρο
όπου 
είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί, αφού η διαγώνιά του 
περνάει από το μέσον 
της πλευράς 
του 
, ως διαγώνιας του 
- cv1.png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 3809 φορές
Το κλειδί εδώ είναι ότι οι μεσοκάθετες ευθείες των πλευρώνS.E.Louridas έγραψε:...● Για την Γ΄Λυκείου.
Αν Δ το σημείο τομής της μεσοκάθετης της ΒΓ με την ΑΓ ,τότε είναι γνωστό ότι το τετράπλευρο ΑΔΟΒ είναι εγγράψιμμο, επομένως το K ταυτίζεται με το Δ. Αλλά από τις προφανείς ισότητες
έχουμε το ζητούμενο.
του δοσμένου τριγώνου , περνάνε αντιστοίχως από τα σημεία 
Πράγματι, αν θεωρήσουμε ως
το σημείο τομής της 
από την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς 
από
, συμπεραίνεται ότι 
αφού ισχύει 
, λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου 
Λόγω συμμετρίας τώρα, έχουμε ότι
και άρα οι περίκυκλοι 
των τριγώνων 
αντιστοίχως, είναι ίσοι λόγω της κοινής χορδής τους 
Ομοίως και οι περίκυκλοι
των τριγώνων 
αντιστοίχως, είναι ίσοι γιατί έχουν κοινή χορδή το 
και ισχύει 
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
- cv2.png (45.33 KiB) Προβλήθηκε 3809 φορές
.
![\displaystyle{2\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right) \le 2\left[ {\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} + \frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} + \frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }}} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6965c44cb1ab34ebc6e4709dfd0b8be2.png "\displaystyle{2\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right) \le 2\left[ {\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} + \frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} + \frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }}} \right]}")
![\displaystyle{\left[ {2\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} - \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta }} \right] + \left[ {2\frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} - \frac{1}{\beta } - \frac{1}{\gamma }} \right] + \left[ {2\frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }} - \frac{1}{\gamma } - \frac{1}{\alpha }} \right] \ge 0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2714045305078dbc83605945cda52a1a.png "\displaystyle{\left[ {2\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} - \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta }} \right] + \left[ {2\frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} - \frac{1}{\beta } - \frac{1}{\gamma }} \right] + \left[ {2\frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }} - \frac{1}{\gamma } - \frac{1}{\alpha }} \right] \ge 0}")
![\displaystyle{\left[ {\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} - \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta }} \right] + \left[ {\frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} - \frac{1}{\beta } - \frac{1}{\gamma }} \right] + \left[ {\frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }} - \frac{1}{\gamma } - \frac{1}{\alpha }} \right] < 0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b623073d21ec4f88121b2c5be7310a0c.png "\displaystyle{\left[ {\frac{{{\alpha ^3} + {\beta ^3}}}{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\alpha \beta }} - \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta }} \right] + \left[ {\frac{{{\beta ^3} + {\gamma ^3}}}{{\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right)\beta \gamma }} - \frac{1}{\beta } - \frac{1}{\gamma }} \right] + \left[ {\frac{{{\gamma ^3} + {\alpha ^3}}}{{\left( {{\gamma ^2} + {\alpha ^2}} \right)\gamma \alpha }} - \frac{1}{\gamma } - \frac{1}{\alpha }} \right] < 0}")
αν αβ+βγ+γα=1
,και όχι 
,όπως γράφεται στις λύσεις.
