Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

#1

Να δειχθεί ότι ισχύει η $x^2\leq sinxtanx$ για $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 10:04 pm
Να δειχθεί ότι ισχύει η $x^2\leq sinxtanx$ για $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ .

Καλημέρα σας. Η προσπάθειά μου.

Θα δουλέψω με τη συνάρτηση $f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{cosx}}-x$ στο $[0,\frac{\pi}{2})$ .

Στο $(0,\frac{\pi}{2})$ , είναι

$f'(x)=\frac{cosx \cdot \sqrt{cosx}+\frac{sin^{2}x}{2 \sqrt{cosx}}}{cosx}-1=\frac{1+cos^{2}x}{2cosx \sqrt{cosx}}-1>0$

διότι

$1+cos^{2}x>2cosx>2cosx \sqrt{cosx}$ .

Άρα, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,\frac{\pi}{2})$ . Επoμένως,

$f(x) \geq f(0) \Leftrightarrow \frac{sinx}{\sqrt{cosx}} \geq x \Leftrightarrow sinxtanx \geq x^{2}$ .

Λόγω συμμετρίας (άρτια), ισχύει και στις αντίστοιχες αρνητικές τιμές.

Άρα, $sinxtanx \geq x^{2}$ , για $x \in (-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2})$ .

Συμμάζεψα κάπως τη λύση.

#3

Η ζητούμενη για $\displaystyle{x\in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)}$ γράφεται

$\displaystyle{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\cos x.}$

Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη

$\displaystyle{\boxed{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

matha έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 6:04 am
Η ζητούμενη για $\displaystyle{x\in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)}$ γράφεται

$\displaystyle{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\cos x.}$

Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη

$\displaystyle{\boxed{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x}}$

Με το

να είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του εκθέτη για την δεξιά.

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 10:04 pm
Να δειχθεί ότι ισχύει η $x^2\leq sinxtanx$ για $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ .

Έστω $\displaystyle f(x)=\sin x\tan x-{{x}^{2}}$ , $\displaystyle x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$
Η $\displaystyle f$ είναι άρτια , αφού
$\displaystyle f(-x)=\sin (-x)\tan (-x)-{{(-x)}^{2}}=\sin x\tan x-{{x}^{2}}=f(x)$ . Επίσης $\displaystyle f(0)=0$
$\displaystyle {f}'(x)=\cos x\tan x+\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}-2x=\cos x\tan x+\frac{\tan x}{\cos x}-2x=\tan x\left( \cos x+\frac{1}{\cos x} \right)-2x$
Οπότε αν $\displaystyle x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>x,\cos x+\frac{1}{\cos x}>2$ .
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει : $\displaystyle {f}'(x)>0$
Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$ και έχει ελάχιστο το $\displaystyle f(0)=0$ . Άρα $\displaystyle f(x)\ge 0$
Αν $\displaystyle x\in \left( -\frac{\pi }{2},0 \right)$ , λόγω συμμετρίας , ισχύει πάλι $\displaystyle f(x)\ge 0$ .

#6

matha έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 6:04 am
Η ζητούμενη για $\displaystyle{x\in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)}$ γράφεται

$\displaystyle{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\cos x.}$

Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη

$\displaystyle{\boxed{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x}}$

Στο δοθέν διάστημα, $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ , προκύπτει εύκολα μέσω ('γνωστών') προσεγγίσεων:

$\left(\dfrac{sinx}{x}\right)^3>\left(1-\dfrac{x^2}{6}\right)^3>1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}>cosx.$

[Η κεντρική ανισότητα ισοδύναμη προς την x^2<9

.]

#7

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 1:26 pm

matha έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 6:04 am
Η ζητούμενη για $\displaystyle{x\in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)}$ γράφεται

$\displaystyle{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\cos x.}$

Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη

$\displaystyle{\boxed{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2>\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x}}$
Στο δοθέν διάστημα, $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ , προκύπτει εύκολα μέσω ('γνωστών') προσεγγίσεων:

$\left(\dfrac{sinx}{x}\right)^3>\left(1-\dfrac{x^2}{6}\right)^3>1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}>cosx.$

[Η κεντρική ανισότητα ισοδύναμη προς την .]

Χωρίς τις παραπάνω 'γνωστές' προσεγγίσεις:

Θεωρούμε την f(x)=sin^3x-x^3cosx

, για την οποία ισχύουν οι f(0)=0

και

. Αρκεί να δειχθεί η f'(x)>0

, ισοδύναμη για $0<x<\pi$ προς την x^3tanx>3(x^2-sin^2x)

. Επειδή για $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ ισχύει η tanx>x

, αρκεί πλέον να δειχθεί η x^4-3x^2+3sin^2x>0

για $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ .

Θέτοντας g(x)=x^4-3x^2+3sin^2x

προκύπτουν οι g'(x)=4x^3-6x+3sin2x

,

, που μας δίνουν -- λόγω και των g(0)=g'(0)=g''(0)=g'''(0)=0

-- την ζητούμενη g(x)>0

.

Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση