Ακατάλληλα ακρότατα

KARKAR · #1

α) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1-\sin x}{2-\cos x}$

β) Λύστε την εξίσωση : $2\cos x+\sin x=1$ .

Το θέμα δεν θεωρείται κατάλληλο για σχολική χρήση

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 2:13 pm
α) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1-\sin x}{2-\cos x}$

$\displaystyle{y=\dfrac{1-\sin x}{2-\cos x}\implies \sin x-y\cos x=1-2y\implies |1-2y|\leq \sqrt{1+y^2}\implies 3y^2-4y\leq 0\implies y\in \left[0,\frac{4}{3}\right]}$ .

Την τιμή $\displaystyle{0}$ την πιάνουμε π.χ. στο $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ , ενώ την δεξιά τιμή την πιάνουμε εκεί όπου ισχύει $\displaystyle{3\sin x-4\cos x=-5.}$ Κατά τα γνωστά,η εξίσωση έχει λύση. Μάλιστα η συνάρτηση είναι συνεχής, οπότε ισχύει $\displaystyle{f(\mathbb{R})=\left[0,\frac{4}{3}\right].}$

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 2:13 pm
β) Λύστε την εξίσωση : $2\cos x+\sin x=1$ .

Φανερά δεν υπάρχει λύση με $\displaystyle{x=2k\pi +\pi.}$ Τότε

$\displaystyle{2\cos x+\sin x=1\iff \frac{2a}{1+a^2}+2\frac{1-a^2}{1+a^2}=1\iff 3a^2-2a-1=0,}$ όπου $\displaystyle{a=\tan \frac{x}{2}.}$

Επομένως $\displaystyle{\tan \frac{x}{2}=1\vee -\frac{1}{3}\iff x=2m\pi +\frac{\pi}{2}\vee x=2n\pi +2\arctan \left(-\frac{1}{3}\right).}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 13, 2018 2:13 pm
α) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1-\sin x}{2-\cos x}$

β) Λύστε την εξίσωση : $2\cos x+\sin x=1$ .

Το θέμα δεν θεωρείται κατάλληλο για σχολική χρήση

Παίρνοντας την παράγωγο έχουμε

$f'(x)=\dfrac{1-\sin x-2\cos x}{(2-\cos x)^{2}}$

Ετσι οι ρίζες της παραγώγου είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

Βρίσκουμε λοιπόν τα διαστήματα μονοτονίας και τα σημεία που έχει ακρότατα καθώς και τα ακρότατα.

Λόγω περιοδικότητας αυτό το κάνουμε στο $[-\pi ,\pi ]$ η στο $[0,2\pi ]$

KARKAR · #4

Με την παρατήρηση , ότι λόγω περιοδικότητας , αρκεί να βρούμε τις ρίζες της παραγώγου στο $[0,2\pi)$ :

Τετραγωνίζοντας την 2cosx +sinx =1

- θα χρειασθούμε έλεγχο των ριζών που θα βρούμε - έχουμε :

$4cos^2x+sin^2x+4cosx sinx =1\Leftrightarrow 1+3cos^2x+4cosx sinx=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow cosx(3cosx+4sinx)=0$ , δηλαδή $cosx=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$ ( δεκτή , διότι sinx=1

) ,

ή $x=\dfrac{3\pi}{2}$ ( απορρίπτεται , διότι sinx=-1

)
ή $cosx=-\dfrac{4}{3}sinx$ , η οποία με αντικατάσταση στη αρχική , δίνει : $sinx=-\dfrac{3}{5}$ και $cosx=\dfrac{4}{5}$ , δεκτή .

Δηλαδή η δεύτερη λύση είναι τόξο του τετάρτου τεταρτημορίου , του οποίου το πέρας

είναι κορυφή πυθαγορείου τριγώνου τύπου 3-4-5

!

Τα ερωτήματα τέθηκαν σκοπίμως με ανάποδη σειρά , διότι αν κάποιος ξεκινήσει να εργάζεται

μόνο με την παράγωγο , πιθανόν να μην φθάσει σε αποτέλεσμα , αν κολλήσει στην εξίσωση .

Αν όμως βρει πρώτα τα ακρότατα , πιθανόν να να δει , ότι η μέγιστη τιμή $\dfrac{4}{3}$ ,

πιάνεται όντως για $sinx=-\dfrac{3}{5}$ και $cosx=\dfrac{4}{5}$ , αφού : $\dfrac{1-(-\dfrac{3}{5})}{2-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{4}{3}$

Θάνο , από τις λύσεις σου μαθαίνουμε όλοι , θα θέλαμε πάντως να διατύπωνες

με περισσότερες λεπτομέρειες τα "στριφνά" σημεία της λύσης

Εννοώ το σημείο : $\sin x-y\cos x=1-2y\Rightarrow |1-2y|\leq\sqrt{1+y^2}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2018 1:12 pm
...

Εννοώ το σημείο : $\sin x-y\cos x=1-2y\Rightarrow |1-2y|\leq\sqrt{1+y^2}$

Θανάση, χρησιμοποιώ την ιδιότητα $\displaystyle{|A\sin x+B\cos x|\leq \sqrt{A^2+B^2}.}$

Είναι

$\displaystyle{|1-2y|=|\sin x-y\cos x|\implies |1-2y|\leq \sqrt{1+y^2}}$ κτλ.

Πάντως, η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι ένα καλό παράδειγμα για να δείξουμε ότι οι τεχνικές του διαφορικού λογισμού αποτελούν ίσως τη χειρότερη επιλογή για την εύρεση των ακροτάτων.

Ακατάλληλα ακρότατα

Ακατάλληλα ακρότατα

Re: Ακατάλληλα ακρότατα

Re: Ακατάλληλα ακρότατα

Re: Ακατάλληλα ακρότατα

Re: Ακατάλληλα ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση