Ημικύκλιο και παραβολές

KARKAR · #1

: ημικύκλιο και παραβολές.png (56.28 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

έχει κέντρο O(0,0)

, μέσο

και ακτίνα

.

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το

, τέμνει τον x'x

σε σημεία

συμμετρικά ως προς

και : α) Διέρχεται από το

.

β) Εφάπτεται - εξωτερικά - του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον x'x

σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .

#2

Κάτι κάνει το ίντερνετ και αλλοιώνεται το κειμενο. Προσπαθώ ξανά σε χωριστό ποστ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 10, 2021 1:52 pm
ημικύκλιο και παραβολές.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου έχει κέντρο , μέσο και ακτίνα .

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το , τέμνει τον σε σημεία

συμμετρικά ως προς και : α) Διέρχεται από το .

β) Εφάπτεται του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .

Οι συμμετρικές ωε προς τον άξονα των

παραβολές έχουν εξίσωση της μορφής y=-a(x^2-s^2)

όπου τέμνει τον άξονα των

στα $\pm s$ . Για να διέρχεται από το M(0,r)

, είναι $y=-\dfrac {r}{s^2}(x^2-s^2)$ .

Τώρα

α) Άμεσο με s=r

.

β) Δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "μικρότερο άνοιγμα". Αν πάντως σημαίνει ότι κόβει τον άξονα των

σε όσο πιο κοντινά σημεία, έχουμε πρόβλημα γιατί παίρνοντας s>0

όσο μικρά θέλουμε, σημαίνει ότι δεν υπάρχει τέτοια παραβοή.

γ) Με ολοκλήρωση το εμβαδόν κάτω από την παραβολή είναι $\displaystyle{\dfrac {4}{3} rs}$ (γνωστό και στον Αρχιμήδη χωρίς ολοκλήρωση), οπότε θέλουμε $\displaystyle{\dfrac {4}{3} rs= \dfrac {1}{2}\pi r^2}$ . Άρα $\displaystyle{s=\dfrac {3\pi}{8}r}$

KARKAR · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 10, 2021 2:25 pm

β) Δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "μικρότερο άνοιγμα". Αν πάντως σημαίνει ότι κόβει τον άξονα των

σε όσο πιο κοντινά σημεία, έχουμε πρόβλημα γιατί παίρνοντας όσο μικρά θέλουμε, σημαίνει ότι

δεν υπάρχει τέτοια παραβολή.

Ναι Μιχάλη , δική μου παράλειψη . Εννοούσα ( φαίνεται στο σχήμα ) ότι η παραβολή "περιβάλλει" τον κύκλο .

revan085 · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 10, 2021 1:52 pm
ημικύκλιο και παραβολές.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου έχει κέντρο , μέσο και ακτίνα .

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το , τέμνει τον σε σημεία

συμμετρικά ως προς και : α) Διέρχεται από το .

β) Εφάπτεται - εξωτερικά - του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .

Το δοσμένο ημικύκλιο ικανοποιεί την εξίσωση: $x^2+y^2=r^2,r>0,x\in [-r,r],y\in [0,r]$

Εξίσωση παραβολής συμμετρικής ως προς {y}'y

: $y=a(x^2-s^2),a\neq 0$ , όπου s,-s

οι ρίζες της συνάρτησης αυτής.
Είναι $y(0)=r\Rightarrow -as^2=r\Rightarrow a<0$ .

Άρα η δοσμένη παραβολή είναι της μορφής: $y=a(x^2-s^2),a<0\Leftrightarrow y=ax^2+r,a<0$

α) Για να διέρχεται η παραβολή από το σημείο $A\left ( -r,0 \right )$ πρέπει: $y(r)=0\Rightarrow r=s\Rightarrow a=-\frac{1}{r}$

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: $y=-\frac{1}{r}x^2+r$

β) Για να έχει η ζητούμενη παραβολή το μικρότερο δυνατό "άνοιγμα" θα πρέπει να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του a<0

για την οποία
η παραβολή y=ax^2+r,a<0

έχει μοναδικό σημείο τομής με το δοσμένο ημικύκλιο το σημείο M(r,0)

(το οποίο είναι και σημείο επαφής καθώς και η παραβολή και το ημικύκλιο παίρνουν μέγιστη τιμή για x=0

)

Είναι: $(ax^2+r)^2=r^2-x^2\Leftrightarrow a^2x^4+(2ar+1)x^2=0\Leftrightarrow x^2(a^2x^2+2ar+1)=0$

Η εξίσωση: $a^2x^2+2ar+1=0\Leftrightarrow a^2x^2=-(2ar+1)$

Για να έχει και αυτή μοναδική λύση την x=0

θα πρέπει $2ar+1=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2r}$

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: $y=-\frac{1}{2r}x^2+r$

γ) Έστω s > 0. Πρέπει:

$\int_{-s}^{s}a(x^2-s^2)dx=\frac{\pi}{2}r^2\Leftrightarrow \frac{-4as^3}{3}=\frac{\pi}{2}r^2\Leftrightarrow s=\frac{3{\pi}r}{8}\Leftrightarrow a=-\frac{64}{9{\pi^2}r}$

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: $y=-\frac{64}{9{\pi^2}r}x^2+r$

Ημικύκλιο και παραβολές

Ημικύκλιο και παραβολές

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

Μέλη σε σύνδεση