Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων

dennys · #1

Βρείτε τα :

α) $\int_{0}^{1}\cfrac{xe^x}{(e^x+1)^3}dx$ kai $\int_{0}^{1}\cfrac{x^2}{(x+1)^4}dx$

b)Aν $I_n=\int_{0}^{\pi/2}(sin^{n}x)dx$ ,να δείξετε ότι :1) $I_n I_{n-1}=\cfrac{\pi}{2n}$

2) $I_n<I_{n-1}$

3) $\lim_{n\to +\infty}I_n$

#2

dennys έγραψε: α) <...> $\int_{0}^{1}\cfrac{x^2}{(x+1)^4}dx$

Από το α) κάνω μόνο το δεύτερο ολοκλήρωμα γιατί το πρώτο έχει πράξεις. Για το δεύτερο, γενικότερα,

$\displaystyle {\int \cfrac{x^2}{(x+1)^4}\,dx=\int \cfrac{ (x+1)^2-2(x+1)+1}{(x+1)^4}\,dx$

$\displaystyle {=\int\left ( \cfrac{1}{(x+1)^2}-\cfrac{2}{(x+1)^3} + \cfrac{1}{(x+1)^4} \right )\, dx= - \cfrac{1}{x+1} +\cfrac{1}{(x+1)^2} -\cfrac{1}{3(x+1)^3} + c$

dennys έγραψε: b)Aν $I_n=\int_{0}^{\pi/2}(sin^{n}x)dx$ ,να δείξετε ότι :1) $I_n I_{n-1}=\cfrac{\pi}{2n}$

2) $I_n<I_{n-1}$

3) $\lim_{n\to +\infty}I_n$

Με αναδρομικό τύπο εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle { I_n=\int_{0}^{\pi/2}sin^{n-1}x (-\cos x)'dx= 0 + (n-1)\int_{0}^{\pi/2}sin^{n-2}x \cos^2 xdx$

$\displaystyle {= (n-1)\int_{0}^{\pi/2}sin^{n-2}x (1-\sin ^2) xdx= (n-1)I_n - (n-1)I_{n-1}$

Άρα $I_n= \frac {n-1}{n}I_{n-2}$ .

Πολλαπλασιάζοντας δύο διαδοχικά τέτοια I_n

, έπεται $I_nI_{n-1}= \frac {n-2}{n}I_{n-2}I_{n-3}$

Με αναδρομή για

περιττό (όμοια το άρτιο) $I_nI_{n-1}= \frac {1}{n}I_{1}I_{0}= \frac {\pi}{2n}$ , όπως θέλαμε.

To $I_n<I_{n-1}$ είναι άμεσο αφού $sin^{n}x <sin^{n-1}x$ στο ανοικτό $(0, \pi/2)$ .

Άρα $I_n^2 \le I_n I_{n-1} \le \frac {\pi}{2n} \to 0$ , οπότε το ζητούμενο όριο είναι

.

Rempeskes · #3

Λίγο διαφορετικά για το δεύτερο (βασικά λίγο πιο ομαλά, διότι ουσιαστικά σχεδόν το ίδιο είναι),

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\cfrac{x^2}{(x+1)^4}dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \left(\frac{1}{x+1} \right)^2 dx=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^2 \left(\frac{1}{x+1} \right)^2 dx}$

Και από εδώ και πέρα με αντικατάσταση $\displaystyle{\frac{1}{x+1}=u}$ εύκολα προκύπτει το ζητούμενο.

Για το πρώτο τώρα,

$\displaystyle{\int_{0}^{1}\cfrac{xe^x}{(e^x+1)^3}dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left( x\cdot \cfrac{-2e^x}{(e^x+1)^3}\right)dx}$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left( \left[x\cdot \frac{1}{(e^x +1)^2} \right]_0^1 -\int_{2}^{e+1}\left(-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}+\frac{1}{u-1} \right)du\right)=...}$

(Έγινε αντικατάσταση e^x +1=u

)

Για την απόδειξη ότι $I_n<I_{n-1}$ αν θεωρήσουμε την συνάρτηση που αναφέρει ο κύριος Μιχάλης $\left(h(x)=sin^{n-1}x-sin^{n}x \right)$ , στο $[0,\frac{\pi}{2}]$ παρατηρούμε ότι είναι $h(x)\geq 0$ δίχως να είναι παντού μηδέν.

Τέλος, όσον αφορά το τελευταίο ερώτημα, εφαρμόζοντας κριτήριο παρεμβολής στην σχέση που ανέφερε ο κύριος Λάμπρου είμαστε οκ.

Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων

Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων

Re: Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων

Re: Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση