Επαναληπτική

Tolaso J Kos · #1

Συνάντησα σε βιβλίο την εξής άσκηση:

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{\nu-1}, \; \nu \in \mathbb{N}^*, \; x \in \mathbb{R}$ .

α.Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τη παράγωγο.
β.Να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\nu}\frac{1}{k}=\int_{0}^{1}f(x)\,dx}$ .
γ.Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{\nu \rightarrow +\infty}f(x)}$ όταν $x \in (-1, 1)$ .
δ.Αν η εφαπτομένη στο x_0=1

είναι η ευθεία $\left ( \varepsilon \right ):y=15x-9$ τότε να βρεθεί το $\nu$ .
ε.Για $\nu =6$ να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται της C_f

, της ευθείας $(\varepsilon)$ και του άξονα x'x

.

Διόρθωσα τον περιορισμό για το $\nu$ . Λευτέρη ευχαριστώ.

M.S.Vovos · #2

...Καλησπέρα Τόλη (που το ξέθαψα

)...

(α) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με παράγωγο:
$f'(x)=1+2x+\cdots +(n-1)x^{n-2}$ (β) Πρακτικά είναι ο ορισμός του αρμονικού αριθμού $H_{n}$ με ολοκλήρωμα από τον Euler.

Έχουμε ότι:
$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\left ( 1+x+\cdots +x^{n-1} \right )dx=\left [ x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots +\frac{x^{n}}{n} \right ]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=H_{n}}$

(γ) Έχουμε ότι: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+x+\cdots +x^{n-1} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x^{n}-1}{x-1}}$ Επειδή όμως $\displaystyle{x\in (-1,1)\Rightarrow \left | x \right |<1}$ , έχουμε εύκολα ότι $\displaystyle{x^{n}\rightarrow 0}$ και άρα:
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x^{n}-1}{x-1}=\frac{1}{1-x}}$ (δ) Η εφαπτομένη της $\displaystyle{C_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle{A\left ( 1,f(1) \right )}$ δίδεται από την σχέση:

$\displaystyle{\left ( \varepsilon \right ):y-f(1)=f'(1)(x-1)\Leftrightarrow y-n=(x-1)\sum_{k=2}^{n}(k-1)\Leftrightarrow y=\frac{n^{2}-n}{2}(x-1)+n=\frac{n^{2}-n}{2}(x-1)-\frac{n^{2}-3n}{2}}$

Επομένως, έχουμε ότι: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} n^{2}-n-30=0\\ n^{2}-3n-18=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n\in \mathbb{N}^{\ast }|n=6\\ \end{matrix}\right.}$ Μου έμεινε το τελευταίο ερώτημα. Όποιος θέλει ας το λύσει, αν δεν την ανεβάσω.

Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Συνάντησα σε βιβλίο την εξής άσκηση:

Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{\nu-1}, \; \nu \in \mathbb{N}^*, \; x \in \mathbb{R}$ .

α.Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τη παράγωγο.
β.Να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\nu}\frac{1}{k}=\int_{0}^{1}f(x)\,dx}$ .
γ.Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{\nu \rightarrow +\infty}f(x)}$ όταν $x \in (-1, 1)$ .
δ.Αν η εφαπτομένη στο είναι η ευθεία $\left ( \varepsilon \right ):y=15x-9$ τότε να βρεθεί το $\nu$ .
ε.Για $\nu =6$ να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται της , της ευθείας $(\varepsilon)$ και του άξονα .

[/i]

Καλησπέρα

Μια προσπάθεια στο ε.

Για $\nu =6$ έχουμε f(x)= 1+x +x^2 +x^3 +x^4 +x^5 .

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα και επειδή f(-1) = 0

, συμπεραίνουμε f(x)>0

για κάθε

.
Επίσης έχουμε f''(x)= 2 + 6x+12x^2 + 20x^3 = 2( 10 x^3 + 6x^2 + 3x +1)>0

για κάθε $x\in [0, +\infty )$ .
Συνεπώς η C_f

είναι κυρτή στο $[0, +\infty )$ άρα βρίσκεται πάνω από την $(\varepsilon)$ στο $[0, +\infty )$ .
Επιπλέον η $(\varepsilon)$ τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $A(\dfrac{3}{5} , 0)$ .
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι $E(\Omega )=\int_{-1}^{\frac{3}{5}}f(x)dx+ \int_{\frac{3}{5}}^{1}\left ( f(x)-15x+9 \right )dx=...$ πράξεις.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #4

Γενικότερα $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}},x \ne 1\\ n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 1 \end{array} \right.}$

Η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο (-1,0)

αν

άρτιος ενώ δεν τέμνει τον άξονα x'x

αν

περιττός.

Στην ειδική περίπτωση μας έχουμε την πρώτη περίπτωση. Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από τον οριζόντιο άξονα στο διάστημα $\displaystyle{\left( {1, + \infty } \right)}$ .

Για την συνεχή και παραγωγίσιμη δεύτερη παράγωγο έχουμε:

$\displaystyle{f''\left( x \right) = 2\left( {1 + 3x + 6{x^2} + 10{x^3}} \right)}$

Μοναδική ρίζα (καθώς $\displaystyle{f'''\left( x \right) = 2\left( {3 + 12x + 30{x^2}} \right) = 6\left( {{{\left( {1 + 2x} \right)}^2} + 6{x^2}} \right) > 0}$ ) στο $\displaystyle{\left( { - 1,0} \right)}$ (το ελέγχουμε με το θεώρημα Bolzano

) και κυρτή στο διάστημα που ορίζεται από αυτήν και δεξιότερα.
Συνεπώς η σχετική της θέση της γραφική παράστασης της C_f

με την εφαπτομένη της στο σημείο A(1,f(1))

είναι στο ημιεπίπεδο πάνω από αυτήν.

Όλα τα παραπάνω μας οδηγούν να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου μας ως: $\displaystyle{{\rm E}\left( \Omega \right) = \int\limits_{ - 1}^{\frac{9}{{15}}} {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_{\frac{9}{{15}}}^1 {f\left( x \right) - \left( {15x - 9} \right)} \,dx}$ .

Τα παραπάνω τα υπολογίζουμε ....

Έγραφα παράλληλα και εγώ κάνοντας τις ίδιες σκέψεις με τον Σταμάτη.

#5

Αχ αυτοί οι ποσοδείκτες.

Εδώ το $\nu$ είναι σταθερό

Tolaso J Kos έγραψε: Δίδεται η συνάρτηση $f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{\nu-1}, \; \nu \in \mathbb{N}^*, \; x \in \mathbb{R}$ .

αφού το $\nu$ δεν εμφανίζεται στο αριστερό μέλος της ισότητας, και εδώ

Tolaso J Kos έγραψε: γ.Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{\nu \rightarrow +\infty}f(x)}$ όταν $x \in (-1, 1)$ .

μεταβλητό.

Λεπτομέρεια;

ΚΑΘΟΛΟΥ, αλλά δεν είναι της ώρας να εξηγήσω το γιατί. Δυστυχώς την θεμελιώδη αυτή παράλειψη (εδώ λείπει ο ποσοδείκτης "για κάθε" στο πρώτο βήμα) την βλέπω κάθε τόσο ακόμα και στο εξαιρετικό μας φόρουμ. Προσοχή όμως μην υποσκελίζουμε τους μαθητές μας με στραβά Μαθηματικά.

kostas232 · #6

kostas232 έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Επειδή όμως $\displaystyle{x\in (-1,1)\Rightarrow \left | x \right |<1}$ , έχουμε εύκολα ότι $\displaystyle{x^{n}\rightarrow 0}$
Ας το αποδείξουμε. Δεν είναι δύσκολο...

Ισχύει η στοιχειώδης ανισότητα $\displaystyle{-|A| \leq A \leq |A| }$ , για κάθε $\displaystyle{A \in \mathbb{R}}$ . Με εφαρμογή αυτής για $\displaystyle{x^n}$ έχουμε:
$\displaystyle{-|x^n| \leq x^n \leq |x^n| \Leftrightarrow -|x|^n \leq x^n \leq |x|^n}$
όπως γνωρίζουμε από γνωστή ιδιότητα των απόλυτων τιμών ( $\displaystyle{|x^n|=|x|^n}$ ).
Επειδή όμως $\displaystyle{0<|x|<1}$ έχουμε $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}|x|^n =0}$ . Λόγω του Κριτηρίου Παρεμβολής προκύπτει λοιπόν ότι $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}x^n =0}$ , όταν $\displaystyle{x \in (-1,1)}$ .

Φιλικά,
Τερζής Κωνσταντίνος

Διέγραψα την "απόδειξή" μου, διότι σύμφωνα με την εκφώνηση(και τις χρήσιμες παρατηρήσεις που ακολούθησαν) από τη στιγμή που $\displaystyle{n \in \mathbb{N^*}}$ , μάλλον μιλάμε για όριο ακολουθίας, για το οποίο τα εργαλεία που περιλαμβάνει η σχολική ύλη δεν επαρκούν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

kostas232 έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
Επειδή όμως $\displaystyle{x\in (-1,1)\Rightarrow \left | x \right |<1}$ , έχουμε εύκολα ότι $\displaystyle{x^{n}\rightarrow 0}$
Ας το αποδείξουμε. Δεν είναι δύσκολο...

Ισχύει η στοιχειώδης ανισότητα $\displaystyle{-|A| \leq A \leq |A| }$ , για κάθε $\displaystyle{A \in \mathbb{R}}$ . Με εφαρμογή αυτής για $\displaystyle{x^n}$ έχουμε:
$\displaystyle{-|x^n| \leq x^n \leq |x^n| \Leftrightarrow -|x|^n \leq x^n \leq |x|^n}$
όπως γνωρίζουμε από γνωστή ιδιότητα των απόλυτων τιμών ( $\displaystyle{|x^n|=|x|^n}$ ).
Επειδή όμως $\displaystyle{0<|x|<1}$ έχουμε $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}|x|^n =0}$ . Λόγω του Κριτηρίου Παρεμβολής προκύπτει λοιπόν ότι $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}x^n =0}$ , όταν $\displaystyle{x \in (-1,1)}$ .

Φιλικά,
Τερζής Κωνσταντίνος

Δεν νομίζω ότι το παραπάνω αποτελεί απόδειξη.
Στην ουσία χρησιμοποιείται αυτό που πρέπει να αποδειχθεί.

#8

kostas232 έγραψε: Ας το αποδείξουμε. Δεν είναι δύσκολο...

Όπως σωστά επισημαίνει ο Σταύρος, η απόδειξη κάνει κυκλικό συλλογισμό.

Πάντως δεν πρόκειται για κάποια δύσκολη άσκηση, και υπάρχει ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού.

Δίνω υπόδειξη για μία ακόμα απόδειξη αλλά είναι εκτός Σχολείου. Κάνει για πρωτοετή φοιτητή.

Δείξε πρώτα ότι για |x| < 1

η ακολουθία |x|^n

είναι φθίνουσα και φραγμένη, άρα συγκλίνει. Μετά, με δεδομένο ότι συγκλίνει κάπου, δείξε ότι συγκλίνει αναγκαστικά στο

.

Christos.N · #9

Χωρίς να έχει καμιά άλλη πρόθεση παρά μόνο την χαρά του παιχνιδιού,

Να δείξουμε πατώντας καθαρά σε σχολική ύλη και χαρακτηρισμένη ως διδακτέα το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x^n} = 0,x \in \left( { - 1,1} \right)}$

#10

Christos.N έγραψε:Χωρίς να έχει καμιά άλλη πρόθεση παρά μόνο την χαρά του παιχνιδιού,

Να δείξουμε πατώντας καθαρά σε σχολική ύλη και χαρακτηρισμένη ως διδακτέα το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x^n} = 0,x \in \left( { - 1,1} \right)}$

Χρήστο,

όπως ανέφερα στο προηγούμενο μήνυμά μου, η (στάνταρ) απόδειξη υπάρχει σε όλους τους Απειροστικούς.

Συνοπτικά, για κάποιο c >0

είναι $|x|= \frac {1}{1+c}$ άρα $0\le |x|^n= \frac {1}{(1+c)^n}\le \frac {1}{1+nc}\to 0$

Αυτό που ζήτησα είναι νέα απόδειξη. Είναι πολύ απλή αλλά ξεφεύγει από τα Σχολικά μόνο κατά το ότι πρέπει να ξέρεις ότι φθίνουσες και φραγμένες ακολουθίες συγκλίνουν.

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση