Επαναληπτική 1/2018

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\left [ 0,\pi \right ]\longrightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο, ώστε:

$\blacklozenge \hspace{2mm} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{f(x)}{x-\pi}=-1$

$\blacklozenge \hspace{2mm} \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\left (\left ( f''(x) \right )^{2}+f^{2}(x) \right )dx=\int_{0}^{\pi}\left (f'(x) \right )^{2}dx+f'(0)f(0)$

Να βρείτε τα $f(\pi)$ , $f'(\pi)$ .

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \mathcal{I}=\int_{0}^{\pi}\left ( f''(x)+f(x) \right )^{2}dx$ .

Να αποδείξετε ότι , για κάθε $x\in [0,\pi]$ .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\Big ( f(x)-\sin x \Big )^{2}+\Big ( f'(x)-\cos x \Big )^{2}$ είναι σταθερή στο $[0,\pi ]$ .

Να προσδιορίσετε τον τύπο της .

Φιλικά,
Μάριος

pito · #2

Kαλησπέρα, όμορφο θέμα!

α) Θέτοντας $h(x)=\frac{f(x)}{x-\pi }, x\neq \pi$ , με $lim_{x\rightarrow \pi }h(x)=-1$ είναι $lim_{x\rightarrow \pi }f(x)=0$ άρα και $f(\pi )=0$ αφού η

συνεχής . ΄Έτσι και $lim_{x\rightarrow \pi }\frac{f(x)-f(\pi )}{x-\pi }=-1\Rightarrow f'(\pi )=-1$

β) Είναι, με παραγοντική, $\int_{0}^{\pi }2f''(x)f(x)dx=-2f'(0)f(0)-2\int_{0}^{\pi }(f'(x))^{2}dx$ , άρα με τη δοσμένη ισότητα με ολοκλήρωμα είναι $I=\int_{0}^{\pi }[(f''(x))^{2}+2f''(x)f(x)+f^{2}(x)]dx=0$ .

γ) Για την $k(x)=[f''(x)+f(x)]^{2}$ είναι $k(x)\geq 0 , x\epsilon [0,\pi]$ , αν η

δεν είναι παντού μηδέν. τότε $\int_{0}^{\pi }k(x)dx>0$ , άτοπο λόγω του (β) ,άρα τελικά $k(x)=0\Rightarrow f''(x)=-f(x),x\epsilon [0,\pi]$

δ) Είναι g'(x)=2(f'(x)-cosx)(f''(x)+f(x))=0

, λόγω του (γ), άρα η

είναι σταθερή στο $[0,\pi]$

ε)Είναι $g(\pi )=0$ και αφού η

είναι σταθερή, είναι $g(x)=0, x\epsilon [0,1]\Rightarrow f(x)-sinx=0, f'(x)-cosx=0\Rightarrow f(x)=sinx, x\epsilon [0,\pi]$ .

Επαναληπτική 1/2018

Επαναληπτική 1/2018

Re: Επαναληπτική 1/2018

Μέλη σε σύνδεση