Υπαρξιακή με ενδιαφέρον β ερώτημα

PanosG · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:[a,b]\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύουν
$\displaystyle{f}$ συνεχχής στο $\displaystyle{[a,b]}$
$\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(a,b)}$
$\displaystyle{f(a)+b=f(b)+a}$
$\displaystyle{f ^\prime}$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(a,b)}$

Δείξτε ότι:

α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{x_0\in (a,b)}$ ώστε $\displaystyle{f(x_0)+x_0=f(a)+b}$
β) Το $\displaystyle{x_0 }$ βρίσκεται πλησιέστερα στο $\displaystyle{b}$ απ΄ότι στο $\displaystyle{a}$

styt_geia · #2

α) Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=f(x)+x-f(a)-b, \,\,x \in [a,b]$ η οποία είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι:

g(a)=f(a)+a-f(a)-b=a-b<0

Έτσι από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $g(x_0)=0 \Rightarrow f(x_0)+x_0=f(a)+b.$ Συνεπώς λαμβάνοντας υπ' όψιν και την υπόθεση βλέπουμε ότι $f(x_0)+x_0=f(a)+b=f(b)+a,\,\,(1)$

β) Η συνάρτηση

είναι συνεχής στα διαστήματα [a,x_0],[x_0,b]

και παραγωγίσιμη στα (a,x_0),(x_0,b)

. Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν $\xi_1 \in (a,x_0)$ και $\xi_2 \in (x_0,b)$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle f'(\xi_1)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}$ και $\displaystyle f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}.$

Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο (a,b)

είναι:

$\displaystyle f'(\xi_1)<f'(\xi_2) \Rightarrow \frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a} < \frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0} \stackrel{(1)}{\Rightarrow} \frac{b-x_0}{x_0-a} < \frac{x_0-a}{b-x_0} \Rightarrow x_0>\frac{a+b}{2}$

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Giorgos S · #3

Το δεύτερο ερώτημα όμοιο με το τρίτο εδώ:viewtopic.php?f=53&t=38555

Υπαρξιακή με ενδιαφέρον β ερώτημα

Υπαρξιακή με ενδιαφέρον β ερώτημα

Re: Υπαρξιακή με ενδιαφέρον β ερώτημα

Re: Υπαρξιακή με ενδιαφέρον β ερώτημα

Μέλη σε σύνδεση