Απορία

alexandrosvets · #1

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω

συνεχής στο [a,b]

και $f(x)>0,\forall x \in [a,b].$ Να δειχθεί ότι:

$(b-a)^2\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx$ .

Η απορία μου είναι γιατί δεν είναι σωστή η Cauchy Schwarz για τις $\sqrt{f(x)},\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ .

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Tolaso J Kos · #2

Μια χαρά λειτουργεί η Cauchy - Schwartz.

Tolaso J Kos · #3

Μάλιστα υπάρχει και μία ωραία ανισότητα που είναι λίγο γενικότερη από αυτή.

Έστω $f:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $\min \limits_{x \in [\alpha, \beta]} f(x) = m >0$ και $\max \limits_{x \in [\alpha, \beta]} f(x) = M$ . Τότε,

$\displaystyle{\frac{1}{M} \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, \mathrm{d}x + m \int_\alpha^\beta \frac{\mathrm{d}x}{f(x)} \geq 2 \sqrt{\frac{m}{M}} \left ( \beta - \alpha \right )}$
Σου αφήνω την απόδειξη!!

alexandrosvets · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:53 pm
Μια χαρά λειτουργεί η Cauchy - Schwartz.

Μάλιστα.Η συγκεκριμένη απάντηση μηδενίστηκε σε προπτυχιακό μάθημα και η απάντηση που έλαβα από τον καθηγητή είναι ασαφής για ευνόητους λόγους.

Σας ευχαριστώ.

Tolaso J Kos · #5

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 1:00 pm
Η συγκεκριμένη απάντηση μηδενίστηκε σε προπτυχιακό μάθημα ...

Ενδιαφέρον... !

#6

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:46 pm
Καλησπέρα σε όλους.

Έστω συνεχής στο και $f(x)>0,\forall x \in [a,b].$ Να δειχθεί ότι:

$(b-a)^2\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx$

Υπόδειξη: Ανισότητα Cauchy-Schwarz στην μορφή $\left ( \int _a^b p(x)q(x) dx \right )^2\le \int _a^b p(x)^2dx\int _a^b q(x)^2dx$ $

alexandrosvets · #7

Edit: Να αποδειχθεί με διπλή ολοκλήρωση.

#8

$\displaystyle{h(x)=\int_{a}^{x}f^2(t)dt\int_{a}^{x}g^2(t)dt-\int_{a}^{x}(f(t)g(t))^2dt,a\le x\le b}$
τότε
$\displaystyle{h'(x)=\int_{a}^{x}(f(t)g(x)-g(t)f(x))^2dt\ge 0}$
άρα
$\displaystyle{h(b)\ge g(a)=0}$

#9

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 1:00 pm
Μάλιστα.Η συγκεκριμένη απάντηση μηδενίστηκε σε προπτυχιακό μάθημα και η απάντηση που έλαβα από τον καθηγητή είναι ασαφής για ευνόητους λόγους.

Περίμενε. Αν αυτό ζητούσε ο Καθηγητής σου

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 7:35 pm
Edit: Να αποδειχθεί με διπλή ολοκλήρωση.

τότε είχε δίκιο. Ούτε ασαφής, ούτε τίποτα τέτοιο η απάντησή του. Αντίθετα, με τον βαθμό που έβαλε, η απάντησή του ήταν σαφέστατη.

Θα σε παρακαλούσα να αναρτούσες σκαναρισμένη ακριβώς την εκφώνηση της ερώτησης, στο διαγώνισμα του προπτυχιακού μαθήματος που αναφέρεσεσε, την οποία μηδένισε. Οράν ιδίοις όμμασι.

alexandrosvets · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 12:34 pm

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 1:00 pm
Μάλιστα.Η συγκεκριμένη απάντηση μηδενίστηκε σε προπτυχιακό μάθημα και η απάντηση που έλαβα από τον καθηγητή είναι ασαφής για ευνόητους λόγους.

Περίμενε. Αν αυτό ζητούσε ο Καθηγητής σου

alexandrosvets έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 22, 2020 7:35 pm
Edit: Να αποδειχθεί με διπλή ολοκλήρωση.
τότε είχε δίκιο. Ούτε ασαφής, ούτε τίποτα τέτοιο η απάντησή του. Αντίθετα, με τον βαθμό που έβαλε, η απάντησή του ήταν σαφέστατη.

Θα σε παρακαλούσα να αναρτούσες σκαναρισμένη ακριβώς την εκφώνηση της ερώτησης, στο διαγώνισμα του προπτυχιακού μαθήματος που αναφέρεσεσε, την οποία μηδένισε. Οράν ιδίοις όμμασι.

Καλησπέρα σας κύριε Λάμπρου.

Το μάθημα ήταν λογισμός πολλαπλών ολοκληρωμάτων.Τα θέματα αν θυμάμαι καλά,δεν επιτρεπόταν να τα πάρουμε μαζί μας.Η εκφώνηση ήταν ακριβώς όπως την ανέβασα.Δεν είχε κάποιο περιορισμό η άσκηση ως προς τον τρόπο λύσης,ούτε αναφέρθηκε ποτέ κάτι σχετικό στη διάρκεια της εξέτασης.Η απάντηση η ολοκληρώμενη που έλαβα τελικά ήταν "Ο σκοπος αυτης της ασκησης ηταν να φανει αν ξερεις απο διπλα
ολοκληρωματα οχι την C-S inequality που δεν εχει καλυφθει στο μαθημα."

Δεν έχω σκοπό να αποκρύψω κάτι,ούτε και να δυσφημίσω.

Edit: Σκοπός της άσκησης,μου είπε, ήταν να λυθεί η συγκεκριμένη με διπλά ολοκληρώματα.

#11

alexandrosvets έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 3:32 pm

Το μάθημα ήταν λογισμός πολλαπλών ολοκληρωμάτων.Τα θέματα αν θυμάμαι καλά,δεν επιτρεπόταν να τα πάρουμε μαζί μας.Η εκφώνηση ήταν ακριβώς όπως την ανέβασα.Δεν είχε κάποιο περιορισμό η άσκηση ως προς τον τρόπο λύσης,ούτε αναφέρθηκε ποτέ κάτι σχετικό στη διάρκεια της εξέτασης.Η απάντηση η ολοκληρώμενη που έλαβα τελικά ήταν "Ο σκοπος αυτης της ασκησης ηταν να φανει αν ξερεις απο διπλα
ολοκληρωματα οχι την C-S inequality που δεν εχει καλυφθει στο μαθημα."

Edit: Σκοπός της άσκησης,μου είπε, ήταν να λυθεί η συγκεκριμένη με διπλά ολοκληρώματα.

Αν το μάθημα είναι Λογισμός Πολλαπλών Ολοκληρωμάτων τότε δεν είναι εκτός ορίων να ζητά απόδειξη με αυτόν τον περιορισμό.

Η αλήθεια είναι ότι, κανονικά, οποιαδήποτε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση πρέπει να γίνεται δεκτή. Όμως όταν είναι τόσο πρόδηλη η
θεματική και η οπτική του μαθήματος, μερικά πράγματα είναι στα συμφραζόμενα.

Θέλω να πω: Το διαγώνισμα δεν είναι ξεκομμένο από το μάθημα. Αν όλο το εξάμηνο συζητιέται ο Λογισμός Πολλαπλών Ολοκληρωμάτων, δεν είναι παράλογο να εννοείται αυτό και στο διαγώνισμα. Είμαι βέβαιος ότι όλες οι εφαρμογές και όλες οι ασκήσεις είχαν αυτό το πνεύμα.

Από την άλλη, καλό είναι να υπενθυμίζονται οι περιορισμοί. Δηλαδή, η άσκηση έπρεπε να έλεγε "Αποδείξτε με χρήση διπλών ολοκληρωμάτων την ανισότητα τάδε". Αν το έλεγε έτσι, είναι απόλυτα δικαιολογημένος ο βαθμός. Για την ώρα δεν ξέρουμε αν πράγματι τα έγραφε αυτά η εκφώνηση. Μόνο το τεκμήριο των θεμάτων είναι ο αδιάψευστος μάρτυρας ενώ τα υπόλοιπα είναι υποθέσεις.

Πάντως φαίνεται ότι η αρχική σου φρασεολογία, δηλαδή

alexandrosvets έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 3:32 pm
... η απάντηση που έλαβα από τον καθηγητή είναι ασαφής για ευνόητους λόγους.

δεν αποδίδει σωστά τα γεγονότα. Η φράση "για ευνόητους λόγους" μπορεί να παρερμηνευτεί ως γνώμη ότι ο Καθηγητής σου είχε δόλο ή, έστω, φέρθηκε άδικα και τώρα προσπαθεί να καλύψει την πράξη του.

Τέτοιο πράγμα δεν προκύπτει (δεν λέω ότι δεν έγινε, απλά επισημαίνω ότι δεν έχω λόγο να πιστέψω ότι ο Καθηγητής σου αστόχησε στην κρίση του).

Πάντως, ένα πράγμα που το οφείλει ο καθένας μας ως Δάσκαλος είναι να μην σε αφήσει τον φοιτητή με αίσθημα αδικίας. Αν ο ίδιος είχα ξεχάσει να προσθέσω στα θέματα το αυτονήτο, ότι δηλαδή εξετάζουμε την ύλη με την τάδε σκοπιά, θα ήμουν πιο επιεικής σε εκείνον τον φοιτητή που θα έλυσε με άλλο τρόπο την άσκηση. Απλούστατα θα θεωρούσα ότι δεν πρέπει να έχω την απαίτηση να αντιληφθεί ο φοιτητής αυτό που δεν ξεκαθάρισα. Πιο καλά να ευνοήσω κάποιον παρά να τον αφήσω με το αίσθμα της αδικίας.

alexandrosvets · #12

Καλησπέρα και πάλι κύριε Λάμπρου.

Επειδή σας έχω μπερδέψει από ότι βλέπω,να τα πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά.

Στέλνω πρώτο μήνυμα στον καθηγητή του μαθήματος και η πρώτη απάντηση που έλαβα για το συγκεκριμένο θέμα ήταν η εξής:
" Δεν το κατάλαβες.Δεν είναι η C-S ανισότητα.Δεν μπορείς να τα βάλεις στο ίδιο ολοκλήρωμα με μια μεταβλητή".Από εδώ ορίζω την ασάφεια.

Σε επόμενο μήνυμα μου για την ισχύη της C-S ανισότητας,έλαβα το 2ο μηνυμα "Ο σκοπος αυτης της ασκησης ηταν να φανει αν ξερεις απο διπλα
ολοκληρωματα οχι την C-S inequality που δεν εχει καλυφθει στο μαθημα."

Επίσης,αν ένας καθηγητής έχει μια θέση στο πανεπιστήμιο λόγω της επιστημονικής του προσφοράς,δεν σημαίνει ότι έχει δώσει και τη δέουσα προσοχή στη διδασκαλία των μαθημάτων που είναι υπεύθυνος.

Όσο αναφορά τα θέματα, ήτανε 3.Ένα αυτό που αναφέρεται στην αρχής της συζήτησης(χωρίς τη C-S δεν γνωρίζω χρόνο,αφού δεν έχω λύση),ένα που ζητούσε να βρεθεί μια σταθέρα μέσω ενός επικαμπυλίου ολοκληρώματος(10 λεπτά μαξ για την απάντηση) και ένα με εναλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης(2 λεπτά απάντηση).Δεν νομίζω ότι θεωρείται αυτή εξέταση του μαθήματος του λογισμού ολοκληρωμάτων.

Δεν έχω λόγο να πω ψέματα και να επιρρίψω ευθύνες.Αλλά μην πέφτετε και από τα σύννεφα αν κάποιος καθηγητής δεν έχει ασχοληθεί σοβαρά με τη διδασκαλία.

#13

Βάζω μια απόδειξη με διπλά ολοκληρώματα:

Έχουμε $\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_a^b \int_a^b \frac{f(y)}{f(x)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$

Επομένως

$\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{1}{2}\left(\frac{f(x)}{f(y)} + \frac{f(y)}{f(x)} \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \geqslant \int_a^b \int_a^b 1 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = (b-a)^2$

alexandrosvets · #14

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 23, 2020 7:16 pm
Βάζω μια απόδειξη με διπλά ολοκληρώματα:

Έχουμε $\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_a^b \int_a^b \frac{f(x)}{f(y)} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_a^b \int_a^b \frac{f(y)}{f(x)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$

Επομένως

$\displaystyle I = \int_a^b \int_a^b \frac{1}{2}\left(\frac{f(x)}{f(y)} + \frac{f(y)}{f(x)} \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \geqslant \int_a^b \int_a^b 1 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = (b-a)^2$

Κύριε Δημήτρη σας ευχαριστώ για την λύση.

Απορία

Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Re: Απορία

Μέλη σε σύνδεση