Ορισμένο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Απάντησα βεβιασμένα πριν. Θα ήταν πρόβλημα Ορέστη να μας έδινες την πηγή;
Εννοώ το βρήκες σε κάποιο βιβλίο που απευθύνεται σε μαθητές Γ΄Λυκείου;

#3

Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται αρχικά, αλλά για το Λύκειο είναι μάλλον "τραβηγμένο". Να δώσουμε, πάντως, μια λύση.

Για το αόριστο: $\displaystyle\int{\frac{1}{x\,({1+x^4})^2}\,dx}=\frac{1}{4}\int{\frac{4x^3}{x^4\,({1+x^4})^2}\,dx}\,\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,x^4} \\ {dt\,=\,4x^3dx} \\ \end{subarray}}\,\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t\,({1+t})^2}\,dt}=$

$\displaystyle\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}-\frac{1}{({1+t})^2}\,dt}=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t}\,dt}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{1+t}\,dt}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{({1+t})^2}\,dt}=$

$\displaystyle\frac{1}{4}\ln|{t}|-\frac{1}{4}\ln|{1+t}|+\frac{1}{4\,({1+t})}+c=\ldots$

Γιώργος Απόκης · #4

orestisgotsis έγραψε:Να υπολογισθεί το $\displaystyle{\int\limits_1^2 {\,\frac{1}{{x{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^2}}}dx} }$

(Δεν μπορώ να το αντιμετωπίσω)

Ένας λίγο... περίεργος τρόπος:

Για $x\in [1,2]$ , είναι :

$\displaystyle{\frac{1}{x(1+x^4)^2}=\frac{1+2x^4+x^8-x^4-x^4-x^8}{x(1+x^4)^2}=\frac{(1+x^4)^2-x^4-x^4(1+x^4)}{x(1+x^4)^2}=\frac{(1+x^4)^2}{x(1+x^4)^2}-\frac{x^4}{x(1+x^4)^2}-\frac{x^4(1+x^4)}{x(1+x^4)^2}=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{x}-\frac{x^3}{(1+x^4)^2}-\frac{x^3}{1+x^4}}$ της οποίας μία παράγουσα στο [1,2]

είναι : $\displaystyle{\ln x+\frac{1}{4(1+x^4)}-\frac{1}{4}\ln (1+x^4)}$ , άρα το ολοκλήρωμα θα ισούται με :

$\displaystyle{\left[\ln x+\frac{1}{4(1+x^4)}-\frac{1}{4}\ln (1+x^4)\right]_1^2=\dots=\frac{1}{136}\left(-15+170\ln 2\right-34\ln 17)}$

Γιώργος Απόκης · #5

Βέβαια, ο τρόπος του Γρηγόρη είναι πιο (φυσιο)λογικός !

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

Ορισμένο

Ορισμένο

Re: Ορισμένο

Re: Ορισμένο

Re: Ορισμένο

Re: Ορισμένο

Re: Ορισμένο

Μέλη σε σύνδεση