Παραποιημένη ανισότητα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Για κάθε θετικό αριθμό

, ισχύει προφανώς : $\ln x<x$ . Βρείτε τον μέγιστο

θετικό

, για τον οποίο ισχύει : $a\ln x\leq x , \forall x>0$ .

#2

Για $\displaystyle{x=e}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{a \leq e.}$ Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{a_{\max}=e}$ αποδεικνύοντας ότι

$\displaystyle{e\ln x\leq x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$ Βέβαια αυτό είναι απλούστατο μελετώντας τη συνάρτηση $\displaystyle{e\ln x-x, x>0.}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 23, 2023 9:32 am
$\bigstar$ Για κάθε θετικό αριθμό , ισχύει προφανώς : $\ln x<x$ . Βρείτε τον μέγιστο

θετικό , για τον οποίο ισχύει : $a\ln x\leq x , \forall x>0$ .

Ουσιαστικά παραλλαγή της προηγούμενης λύσης:

Αρκεί η μελέτη για x>1

γιατί στο υπόλοιπο ο λογάριθμος είναι αρνητικός ή μηδέν αλλά το δεξί μέλος θετικό. Εξετάζουμε την $f(x) = \dfrac {x}{\ln x}$ για x>1

. Έχει $f'(x) = \dfrac {\ln x -1}{(\ln x) ^2}$ . Είναι φανερό από το πρόσημο της

ότι η

είναι φθίνουσα στο (1, e]

και αύξουσα στο $[e, \infty)$ . Άρα στο x=e

, έχει ολικό ελάχιστο η τιμή του οποίου είναι f(e)= e

. Το τελευταίο είναι προφανώς το zητούμενο

.

Παραποιημένη ανισότητα

Παραποιημένη ανισότητα

Re: Παραποιημένη ανισότητα

Re: Παραποιημένη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση