Μη αρνητική

KARKAR · #1

Για

, ορίζω την συνάρτηση : $f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0$ .

α) Αν a=3

, βρείτε το ελάχιστο της

.

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του

, για την οποία το ελάχιστο της

, είναι το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2020 12:23 pm
Για , ορίζω την συνάρτηση : $f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0$ .

α) Αν , βρείτε το ελάχιστο της .

β) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του , για την οποία το ελάχιστο της , είναι το .

...μιά αντιμετώπιση....

α) Είναι $f(x)=x-3\sqrt{x}-lnx,x>0$ με ${f}'(x)=1-3\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}$ και

${f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-3\sqrt{x}-2=0$ απ όπου δεκτή ρίζα

$\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4$ και επειδή ${f}'(x)<0\Leftrightarrow x<4,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x>4$ η

έχει ελάχιστο το f(4)=4-6-ln4=-2-2ln2

β) Τώρα με $f(x)=x-a\sqrt{x}-lnx , x>0$ είναι ${f}'(x)==\frac{2x-a\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}$ και

${f}'(x)=0\Leftrightarrow 2x-a\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}-a\sqrt{x}-2=0$ και επειδή

$\Delta ={{a}^{2}}+16>0$ έχουμε δεκτή ρίζα την $\sqrt{{{x}_{0}}}=\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}+16}}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{1}{16}{{(a+\sqrt{{{a}^{2}}+16})}^{2}}$

που η

σε αυτό το ${{x}_{0}}$ έχει ελάχιστο το $f({{x}_{0}})={{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-ln{{x}_{0}},x>0$ και επειδή

${f}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}-2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}-a\sqrt{{{x}_{0}}}=2-{{x}_{0}}$ είναι $f({{x}_{0}})=2-{{x}_{0}}-ln{{x}_{0}},{{x}_{0}}>0$

Τώρα για την g(x)=2-x-lnx,x>0

που είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=-1-\frac{1}{x}<0,\,\,x>0$ άρα γνήσια φθίνουσα και

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(2-(x+lnx))=-\infty$

έχει σύνολο τιμών το

άρα έχει και μοναδική ρίζα επομένως υπάρχει τιμή του

, για την οποία το ελάχιστο της

, είναι το

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Μη αρνητική

Μη αρνητική

Re: Μη αρνητική

Μέλη σε σύνδεση