Εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Εφαπτόμενες.png (11.78 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Δίνονται οι συναρτήσεις : $f(x)=x^{\frac{1}{e}}$ και g(x)=lnx

.

α) Εξετάστε αν οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν κοινές εφαπτόμενες .

β) Εξετάστε αν υπάρχουν σημεία των $C_{f} ,C_{g}$ , με την ίδια τεταγμένη ,

στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 1:17 pm
Εφαπτόμενες.pngΔίνονται οι συναρτήσεις : $f(x)=x^{\frac{1}{e}}$ και .

α) Εξετάστε αν οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν κοινές εφαπτόμενες .

β) Εξετάστε αν υπάρχουν σημεία των $C_{f} ,C_{g}$ , με την ίδια τεταγμένη ,

στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες .

...μία λύση για το γεωμετρικό θέμα του Θανάση...

α) Οι $f(x)=x^{\frac{1}{e}}$ και g(x)=lnx

είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους με

${f}'(x)=\frac{1}{e}{{x}^{\frac{1}{e}-1}},\,\,{g}'(x)=\frac{1}{x}$ και έχουν εφαπτόμενες στα

$A({{x}_{1}},\,x_{1}^{\frac{1}{e}}),\,\,B({{x}_{2}},\,\ln {{x}_{2}})$ τις ευθείες

$({{\varepsilon }_{1}}):y-x_{1}^{\frac{1}{e}}=\frac{1}{e}x_{1}^{\frac{1}{e}-1}(x-{{x}_{1}})\Leftrightarrow y=\frac{1}{e}x_{1}^{\frac{1}{e}-1}x+(1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}$ και

$({{\varepsilon }_{2}}):y-\ln {{x}_{2}}=\frac{1}{{{x}_{2}}}(x-{{x}_{2}})\Leftrightarrow y=\frac{1}{{{x}_{2}}}x+\ln {{x}_{2}}-1$

για να ταυτίζονται πρέπει να υπάρχουν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in (0,\,\,+\infty )$ ώστε

$\left\{ \begin{matrix} & \frac{1}{e}x_{1}^{\frac{1}{e}-1}=\frac{1}{{{x}_{2}}} \\ & (1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}=\ln {{x}_{2}}-1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & -1+\left( \frac{1}{e}-1 \right)\ln {{x}_{1}}=-\ln {{x}_{2}} \\ & (1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}=\ln {{x}_{2}}-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}=\ln {{x}_{2}} \\ & (1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}=\ln {{x}_{2}}-1 \\ \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} & 1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}=\ln {{x}_{2}} \\ & (1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}=1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}=\ln {{x}_{2}} \\ & (1-\frac{1}{e})x_{1}^{\frac{1}{e}}=\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{matrix} & 1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}=\ln {{x}_{2}} \\ & x_{1}^{\frac{1}{e}}=\ln {{x}_{1}} \\ \end{matrix} \right.$

Τώρα έχουμε από την $x_{1}^{\frac{1}{e}}=\ln {{x}_{1}}\Leftrightarrow \frac{1}{e}\ln {{x}_{1}}=\ln (\ln {{x}_{1}})\Leftrightarrow \ln {{x}_{1}}-e\ln (\ln {{x}_{1}})=0,\,\,{{x}_{1}}>1$

άρα θεωρώντας την εξίσωση $g(x)=\ln x-e\ln (\ln x),\,\,\,x>1$ είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\frac{1}{x}-e\frac{1}{x\ln x}=\frac{\ln x-e}{x\ln x},\,\,x>1$ και ${g}'(x)=0\Leftrightarrow \ln x-e=0\Leftrightarrow x={{e}^{e}}$ και

${g}'(x)>0\Leftrightarrow \ln x-e>0\Leftrightarrow x>{{e}^{e}}$ γνήσια αύξουσα στο $[{{e}^{e}},\,+\infty )$ και

${g}'(x)<0\Leftrightarrow \ln x-e<0\Leftrightarrow x<{{e}^{e}}$ γνήσια φθίνουσα στο $(1,\,\,{{e}^{e}}]$

επομένως παίρνει ελάχιστη τιμή για $x={{e}^{e}}$ την $g({{e}^{e}})=0$ που είναι και μοναδική ρίζα της g(x)=0

άρα

${{x}_{1}}={{e}^{e}}$ και τότε στην $1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)\ln {{x}_{1}}=\ln {{x}_{2}}$ όπου ${{x}_{1}}={{e}^{e}}$ έχουμε

$1+\left( 1-\frac{1}{e} \right)e=\ln {{x}_{2}}\Leftrightarrow 1+e-1=\ln {{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}={{e}^{e}}$

επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο $({{e}^{e}},\,e)$

β) Για να υπάρχουν σημεία των $C_{f} ,C_{g}$ , με την ίδια τεταγμένη ,

στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες πρέπει και αρκεί να υπάρχουν

$A({{x}_{1}},\,x_{1}^{\frac{1}{e}}),\,\,B({{x}_{2}},\,\ln {{x}_{2}})$ με ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ που

${f}'({{x}_{1}})={g}'({{x}_{2}})\Leftrightarrow \frac{1}{e}{{x}_{1}}^{\frac{1}{e}-1}=\frac{1}{{{x}_{2}}}$ και λόγω

${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ να είναι $\frac{1}{e}{{x}_{1}}^{\frac{1}{e}-1}=\frac{1}{{{x}_{1}}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{\frac{1}{e}}=e\Leftrightarrow \frac{1}{e}\ln {{x}_{1}}=1\Leftrightarrow \ln {{x}_{1}}=e\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{e}^{e}}$

που προκύπτει η προηγούμενη περίπτωση. Άρα το ζητούμενο ισχύει μόνο για την κοινή εφαπτομένη τους.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 02, 2018 1:17 pm
Εφαπτόμενες.pngΔίνονται οι συναρτήσεις : $f(x)=x^{\frac{1}{e}}$ και .

α) Εξετάστε αν οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν κοινές εφαπτόμενες .

β) Εξετάστε αν υπάρχουν σημεία των $C_{f} ,C_{g}$ , με την ίδια τεταγμένη ,

στα οποία οι αγόμενες εφαπτόμενες να είναι παράλληλες .

Μπορούμε τουλάχιστον το πρώτο να το δούμε γεωμετρικά.

Ο Θανάσης έχει κλέψει ένα κομμάτι του σχήματος.

Αν το είχε όλο θα βλέπαμε ότι είναι

$\ln x\leq x^{\frac{1}{e}},x> 0$

με ισότητα μόνο για $x=e^{e}$

Αυτό βγαίνει εύκολα θεωρώντας την $f(x)=\ln x-x^{\frac{1}{e}}$

με $f'(x)=\dfrac{e-x^{\frac{1}{e}}}{xe}$

Και οι δύο είναι κοίλες και η μία πάνω από την άλλη εκτός ενός σημείου που είναι ίσες.

Αν λοιπόν υπάρχει κοινή εφαπτομένη θα είναι σε αυτό το σημείο που είναι το $(e^{e},e)$

Πράγματι εκεί υπάρχει κοινή εφαπτομένη όπως βρήκε και ο Βασίλης παραπάνω.

KARKAR · #4

: Εφαπτόμενες.png (24.08 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Ζητώ σημεία με την ίδια τεταγμένη ( όχι ίδια τετμημένη ) , δηλαδή π.χ. τα A,B

.

Σταμ. Γλάρος · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 7:16 am
Εφαπτόμενες.png Ζητώ σημεία με την ίδια τεταγμένη ( όχι ίδια τετμημένη ) , δηλαδή π.χ. τα .

Καλημέρα .
Μια προσπάθεια ...
β) Έστω $\varepsilon$ η εφαπτομένη της C_f

, στο

.
Ο συντελεστής διευθύνσεως της $\varepsilon$ στο

είναι $f'(x_1)=\dfrac{1}{e}x_1^{\frac{1}{e}-1}$ .
Επίσης αν $\eta$ η εφαπτομένη της C_g

, στο

.
Ο συντελεστής διευθύνσεως της $\eta$ στο

είναι $g'(x_2)=\dfrac{1}{x_2}$ .

Τώρα θα πρέπει f(x_1)=g(x_2)

και

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{e}x_1^{\frac{1}{e}-1} = \dfrac{1}{x_2}$ $\Leftrightarrow$ $x_1^{\frac{1}{e}-1}\cdot x_2 = e$ $\Leftrightarrow$ $\left (x_1^{\frac{1}{e}-1} \right )^{e} \cdot (x_2)^e = e^e$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $x_1^{1-e}\cdot x_2^e = e^e$ $\Leftrightarrow$ (1-e)lnx_1 +elnx_2 = e

$\Leftrightarrow$ (1-e) lnx_1 = (1-lnx_2) e

(1)

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
i) $x_1 \in (0,1)$ και $x_2 \in (0,1)$ απορρίπτεται διότι f(x_1)>0

,

συνεπώς $f(x_1)\neq g(x_2)$ .

ii) x_1 > 1

και

.
Είναι

$\Leftrightarrow$ $x_1^{\frac{1}{e}} = lnx_2$ $\Leftrightarrow$ lnx_1 =e ln(lnx_2)

(2)

Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουμε:
(1-e) ln(lnx_2) = 1-lnx_2

.

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)= (1-e) ln(lnx) + lnx -1

, παραγωγίσιμη στο $(1, +\infty)$ με $h'(x)=\dfrac{lnx +1-e}{xlnx}$ .

Ισχύει h'(x)<0

στο $(1, e^{e-1})$ . Άρα η

γνησίως φθίνουσα στο $(1, e^{e-1}]$ .
Επίσης $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^+}h(x)}=+\infty$ . Άρα $h\left (\left ( 1, e^{e-1} \right ] \right )= \left [ h\left (e^{e-1} \right ),+\infty \right ).$

Επιπλέον h'(x)>0

στο $( e^{e-1} , +\infty)$ . Άρα η

γνησίως αύξουσα στο $[ e^{e-1} , +\infty)$ .
Επίσης $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty }h(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( lnx\left [ (1-e)\dfrac{ln(lnx))}{lnx}+1-\dfrac{1}{lnx} \right ] \right )= +\infty}$ ,
αφού με την βοήθεια του κανόνα de l' Hospital προκύπτει $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \dfrac{ln(lnx)}{lnx} \right )=0$ .
Άρα $h\left (\left [ e^{e-1} , \infty \right ) \right )= \left [ h\left (e^{e-1} \right ),+\infty \right ).$

Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι $h\left (e^{e-1} \right )<0$ .
Θεωρώ την συνάρτηση p(x)= (1-x) ln(x-1) +x-2

, παραγωγίσιμη στο $(1, +\infty)$ με p'(x)=-ln(x-1)

.
Εύκολα με πινακάκι κλπ. αποδεικνύεται ότι η

παρουσιάζει στο x_o =2

, ολικό μέγιστο το p(2)=0

.
Επομένως $h\left (e^{e-1} \right ) = p(e) < 0$ .

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η

έχει δύο ρίζες.
Η μία είναι η

στο διάστημα $(1, e^{e-1}]$ και η άλλη είναι η e^e

στο διάστημα $[ e^{e-1} , +\infty)$ .

Συνεπώς x_2 =e

και

, δηλαδή έχουμε τα σημεία

,

όπως υπέδειξε ο KARKAR.
Αν x_2 =e^e

τότε και

, δηλαδή έχουμε το κοινό σημείο των δύο συναρτήσεων που βρήκε ο Βασίλης. Εδώ οι εφαπτομένες ταυτίζονται.

Ελπίζω να μην κούρασα και να μην ξέφυγε τίποτα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Εφαπτόμενες

Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση