ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

#1

...Καλημέρα

....

Από απορία μαθητή μου, που με προβλημάτισε...

Αν

ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $\Delta$ αν ισχύει (f(x)-x)({f}'(x)-1)=0

για κάθε $x\in \Delta$ τότε είναι

f(x)-x=0

ή

Σωστό ή Λάθος ; Μπορούμε να τεκμηριώσουμε την απάντηση μας.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Θέτουμε

(παραγωγίσιμη).

Τότε η δοσμένη γράφεται:
$g(x){g}'(x)=0\Rightarrow 2g(x){g}'(x)=0\Rightarrow {(g^{2}(x))}'=0\Rightarrow g^{2}(x)=c.$

Για c=0

παίρνουμε $g^{2}(x)=0\Rightarrow g(x)=0\Rightarrow f(x)=x,x\in D$
Για c > 0

παίρνουμε (διατηρώ την ίδια σταθερά σε κάθε βήμα για λόγους ευκολίας)
$g^{2}(x)=c\Rightarrow |g(x)|=c.$

Αν η μπορεί να πάρει την τιμή

αλλά και την

για κάποια

τότε από ΘΕΤ θα πάρει και την τιμή

Αυτό όμως είναι άτοπο αφού τότε θα είναι c=0.

Άρα για κάθε $x\in D$ θα είναι $g(x)=c\Rightarrow f(x)=x+c,c\neq 0.$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουμε τελικά ότι για κάθε $x\in D$ είναι $f(x)=x+c,c\in R.$

#3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2017 11:16 am
Αν ορισμένη και παραγωγίσιμη σε διάστημα $\Delta$ αν ισχύει για κάθε $x\in \Delta$ τότε είναι

ή Σωστό ή Λάθος ; Μπορούμε να τεκμηριώσουμε την απάντηση μας.

Και μία λύση πολύ εκτός Λυκειακής ύλης, αλλά για να υπάρχει. Απευθύνομαι σε φοιτητές και πάνω.

Αν τα

με

είναι όλο το διάστημα, τελειώσαμε. Αλλιώς, υπάρχουν στοιχεία στο $K=\{x: \, f(x)=x\}$ . Θα δείξουμε ότι το

είναι όλο το αρχικό διάστημα.

Το σύνολο

είναι προφανώς κλειστό γιατί αν $x_n \in K, \, x_n \to x_o$ , η συνέχεια δίνει $x_n=f(x_n)\to f(x_o)$ , και άρα f(x_o)= x_o

.

Το συμπλήρωμα του

, είναι ανοικτό και άρα ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων, σε καθένα από τα οποία ισχύει {f}'(x)-1=0

. Έστω

ένα από αυτά. Οπότε υπάρχει σταθερά c_J

με

στο

. Τα άκρα του διαστήματος ανήκουν στο

, αφού δεν ανήκουν στο ανοικτό

(εκτός αν είναι επίσης άκρα του αρχικού διαστήματος, οπότε έτσι και αλλιώς τελειώσαμε) άρα για τέτοιο άκρο

είναι

. Δηλαδή στο

ισχύει

, και άρα είναι υποσύνολο του

, οπότε

κενό, και λοιπά.

ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

Re: ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

Re: ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΣΟ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

Μέλη σε σύνδεση