Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#1

Αν οι συναρτήσεις p, q

είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και f_1,f_2

είναι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}$ , όπου $f_1 \neq c \cdot f_2$ όπου

σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f_1

υπάρχει μοναδική ρίζα της f_2

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και είναι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}$ , όπου $f_1 \neq c \cdot f_2$ όπου σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της υπάρχει μοναδική ρίζα της .

Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα

Είναι $f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0$

και $f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0$

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με $f_{2}$ την δεύτερη με $f_{1}$

και αφαιρώντας προκύπτει

$f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0$

Θέτοντας $w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)$

η προηγούμενη γίνεται w'(x)+p(x)w(x)=0

Αρα $w(x)=de^{-\int p(x)dx}$

Αν d=0

τότε προκύπτει ότι $f_1 = c \cdot f_2$

Αρα $d\neq 0$ οπότε $f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0$ (1)στο $\mathbb{R}$

Εστω a,b

δύο διαδοχικές ρίζες της $f_{1}$

Λόγω της (1) είναι $f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0$

Αν η $f_{2}$ δεν έχει ρίζα στο (a,b)

τότε ορίζεται η

$h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

Είναι h(a)=0=h(b)

οπότε από Rolle υπάρχει $r\in (a,b)$

με $0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}$

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της $f_{1}$ υπάρχει ρίζα της $f_{2}$ .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των $f_{1}$ $f_{2}$

θα είχαμε ρίζα της $f_{1}$ στο (a,b)

ΑΤΟΠΟ.

Σχόλιo.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 6:24 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και είναι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}$ , όπου $f_1 \neq c \cdot f_2$ όπου σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της υπάρχει μοναδική ρίζα της .
Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα

Είναι $f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0$

και $f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0$

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με $f_{2}$ την δεύτερη με $f_{1}$

και αφαιρώντας προκύπτει

$f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0$

Θέτοντας $w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)$

η προηγούμενη γίνεται

Αρα $w(x)=de^{-\int p(x)dx}$

Αν τότε προκύπτει ότι $f_1 = c \cdot f_2$

Αρα $d\neq 0$ οπότε $f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0$ (1)στο $\mathbb{R}$

Εστω δύο διαδοχικές ρίζες της $f_{1}$

Λόγω της (1) είναι $f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0$

Αν η $f_{2}$ δεν έχει ρίζα στο τότε ορίζεται η

$h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

Είναι

οπότε από Rolle υπάρχει $r\in (a,b)$

με $0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}$

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της $f_{1}$ υπάρχει ρίζα της $f_{2}$ .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των $f_{1}$ $f_{2}$

θα είχαμε ρίζα της $f_{1}$ στο ΑΤΟΠΟ.

Σχόλιο.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)

1) Υπάρχει παρόμοιο θεώρημα και λέγεται θεώρημα Sturm. Έχει προφανώς άλλη εκφώνηση που αφορά φοιτητές.

2) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εδώ και κάτι χρόνια εκτός ύλης.

3) Στην προτελευταία γραμμή, είτε υπάρχει τυπογραφικό λάθος (μάλλον λείπει ένα κόμμα) είτε λάθος στη λύση.

4) Η λύση προφανώς και είναι ημιτελής αφού μας διαβάζουν μαθητές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το θεώρημα είναι το
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2% ... on_theorem

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 07, 2017 11:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 6:24 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και είναι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}$ , όπου $f_1 \neq c \cdot f_2$ όπου σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της υπάρχει μοναδική ρίζα της .
Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα

Είναι $f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0$

και $f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0$

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με $f_{2}$ την δεύτερη με $f_{1}$

και αφαιρώντας προκύπτει

$f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0$

Θέτοντας $w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)$

η προηγούμενη γίνεται

Αρα $w(x)=de^{-\int p(x)dx}$

Αν τότε προκύπτει ότι $f_1 = c \cdot f_2$

Αρα $d\neq 0$ οπότε $f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0$ (1)στο $\mathbb{R}$

Εστω δύο διαδοχικές ρίζες της $f_{1}$

Λόγω της (1) είναι $f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0$

Αν η $f_{2}$ δεν έχει ρίζα στο τότε ορίζεται η

$h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

Είναι

οπότε από Rolle υπάρχει $r\in (a,b)$

με $0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}$

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της $f_{1}$ υπάρχει ρίζα της $f_{2}$ .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των $f_{1}$ $f_{2}$

θα είχαμε ρίζα της $f_{1}$ στο ΑΤΟΠΟ.

Σχόλιο.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)

1) Υπάρχει παρόμοιο θεώρημα και λέγεται θεώρημα Sturm. Έχει προφανώς άλλη εκφώνηση που αφορά φοιτητές.

2) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εδώ και κάτι χρόνια εκτός ύλης.

3) Στην προτελευταία γραμμή, είτε υπάρχει τυπογραφικό λάθος (μάλλον λείπει ένα κόμμα) είτε λάθος στη λύση.

4) Η λύση προφανώς και είναι ημιτελής αφού μας διαβάζουν μαθητές.

Πολύ θα ήθελα να δω μια λύση που να χρησιμοποιεί μόνο
ύλη σχολικών Μαθηματικών και να είναι πλήρης.

Christos.N · #6

Δηλαδή αν στηριχθούμε εδώ:

: DeepinScreenshot_select-area_20190730130042.png (27.32 KiB) Προβλήθηκε 1418 φορές

και μιλάω για την υποσημείωση στο τέλος, τότε ο Σταύρος αν είχε θεωρήσει $w(x)=de^{P(x)}$ αντί γιά $w(x)=de^{-\int p(x)dx}$ , όπου P'(x)=p(x)

για κάθε $x \in \mathb R$ , όλα τώρα γίνονται νόμιμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2019 1:07 pm
Δηλαδή αν στηριχθούμε εδώ:

DeepinScreenshot_select-area_20190730130042.png

και μιλάω για την υποσημείωση στο τέλος, τότε ο Σταύρος αν είχε θεωρήσει $w(x)=de^{P(x)}$ αντί γιά $w(x)=de^{-\int p(x)dx}$ , όπου για κάθε $x \in \mathb R$ , όλα τώρα γίνονται νόμιμα.

Γεια σου Χρήστο.
Υπάρχει και άλλο σημείο που για σχολική ύλη θέλει επεξήγηση

το
Αν d=0

τότε προκύπτει ότι $f_1 = c \cdot f_2$

Από θεωρία διαφορικών εξισώσεων είναι άμεσο.
Αλλά για σχολική απόδειξη δεν είναι τόσο εύκολο.

Συμπλήρωμα.
Η αρχική ανάρτηση
είναι το θεώρημα 9.3 με τίτλο'' Θεώρημα Διαχωρισμού του Sturm''
σελίδα 439 στο βιβλίο
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
των
Ν.Δ.Αλικάκος Γ.Η.Καλογερόπουλος

Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση