Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

#1

...Καλησπέρά

...Συμφωνώ απόλυτα με το φίλο μου το Στάθη στη δημοσίευση του εδώ viewtopic.php?f=53&t=57386&p=276605#p276605 γιατί με αυτό τον τρόπο, πιστεύω και εγώ, ότι θα αναδειχθεί η μαθηματική σκέψη, μέσα από την Γεωμετρία των καμπυλων(...διεγύρουν το μάτι με την ομορφιά τους, όπου και να είναι ξαπλωμένες....)
Γι αυτό θα συνεχίσω και εγώ να τις αναδεικνύω με σχετικά θέματα, που μπορεί να έχουν πάλι συζητηθεί κατά καιρούς στην παρέα μας.

Έστω συνάρτηση

ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha ,\,\,+\infty )$ που είναι κυρτή στο διάστημα αυτό με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ τότε:

α) Να δειχθεί ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$

β) Να δειχθεί ότι f(x)>0

για $x\in [\alpha ,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρά ...Συμφωνώ απόλυτα με το φίλο μου το Στάθη στη δημοσίευση του εδώ viewtopic.php?f=53&t=57386&p=276605#p276605 γιατί με αυτό τον τρόπο, πιστεύω και εγώ, ότι θα αναδειχθεί η μαθηματική σκέψη, μέσα από την Γεωμετρία των καμπυλων(...διεγύρουν το μάτι με την ομορφιά τους, όπου και να είναι ξαπλωμένες....)
Γι αυτό θα συνεχίσω και εγώ να τις αναδεικνύω με σχετικά θέματα, που μπορεί να έχουν πάλι συζητηθεί κατά καιρούς στην παρέα μας.

Έστω συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[\alpha ,\,\,+\infty )$ που είναι κυρτή στο διάστημα αυτό με $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ τότε:

α) Να δειχθεί ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0$

β) Να δειχθεί ότι για $x\in [\alpha ,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα Βασίλη

β) Θα δείξουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left[ a,+\infty \right)$ και επειδή είναι παραγωγίσιμη θα δείξουμε ότι ${f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ a,+\infty \right)$ (με μηδενισμό σε μεμονωμένα σημεία διότι ο μηδενισμός παραγώγου σε διάστημα οδηγεί στην ευθυγράμμιση του μέρους της γραφικής παράστασης στο διάστημα αυτό , πράγμα που δεν συμφωνεί με τον ορισμό της κυρτής (κατά σχολικό βιβλίο) συνάρτησης) *

Εστω ότι υπάρχει ${x_0} \in \left[ {a, + \infty } \right)$ ώστε: $f'\left( {{x_0}} \right) > 0$ . Η εφαπτόμενη (έστω $\left( \varepsilon \right)$ ) της ${C_f}$ στο σημείο $M\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ είναι $\left( \varepsilon \right):y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$ .

Λόγω της κυρτότητας της θα ισχύει : $f\left( x \right) \geqslant f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right),\forall x \in \left[ {a, + \infty } \right)$ (με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x = {x_0}$ (σχολική πρόταση: η γραφική παράσταση κυρτής συνάρτησης σε διάστημα βρίσκεται "πάνω" από την εφαπτόμενη σε κάθε σημείο του εν λόγω διαστήματος εκτός της τετμημένης του σημείου επαφής).

Για $x \in \left( {{x_0}, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) > f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right):\left( 1 \right)$ . Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)} \right]\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - {x_0}} \right) = + \infty ,f'\left( {{x_0}} \right) > 0}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)} \right] = + \infty \Rightarrow$ $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)}} = 0}:\left( 2 \right)$ και $f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) > 0$ κοντά στο $+ \infty$ οπότε

από την $\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( x \right) > f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) > 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{0 < \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} < \frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}}:\left( 3 \right)$ κοντά στο $+ \infty$ και με

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 0 = 0$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)\,\,,\,\,\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma } \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0$ $\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0}, + \infty } \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$

πράγμα άτοπο απο την υπόθεση (αφού $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$ ).

Επειδή γνησίως φθίνουσα και συνεχής θα είναι $f\left( {\left[ {a, + \infty } \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right),f\left( a \right)} \right] =$ $\left( {0,f\left( a \right)} \right] \subseteq \left( {0, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {a, + \infty } \right)$

και το β) ερώτημα έχει αποδειχτεί.

Θα γράψω αργότερα την απάντηση για το α) ερώτημα, αλλά μέχρι να επανέλθω θα ήθελα να βάλω μερικούς προβληματισμούς που ίσως απασχολούν αρκετούς (για να μην πώ όλους) από εμάς

(*). Παρατηρήσεις:
$\bullet$ Μια σταθερή συνάρτηση έχει και μέγιστο και ελάχιστο τα οποία ταυτίζονται και παρουσιάζονται σε κάθε του πεδίου ορισμού της
$\bullet$ Υπάρχει η διάκριση (έστω και στο περιθώριο του βιβλίου) ανάμεσα στην αύξουσα και την γνησίως αύξουσα συνάρτηση ( $f\uparrow$ στο $\Delta \subseteq {{D}_{f}}\overset{o\rho \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)\le f\left( {{x}_{2}} \right)$ ) οπότε μια συνάρτηση σταθερή είναι συγχρόνως αύξουσα και φθίνουσα.
$\bullet$ Το ερώτημα μου είναι. Δεν θα έπρεπε να υπήρχε η διάκριση ανάμεσα σε κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) με αυστηρά κυρτή (αντίστοιχα αυστηρά κοίλη) με την διαφοροποίηση του ορισμού ( η αύξουσα για την κυρτή και φθίνουσα για την κοίλη) και (η γνησίως αύξουσα για την αυστηρά κυρτή και γνησίως φθίνουσα για την αυστηρά κοίλη). Γιατί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε γραφική παράσταση συνάρτησης να μην στρέφει τα κοίλα και άνω και κάτω. Μήπως ο σχολικός ορισμός «χάνει» την οριακότητα της καμπυλότητας; . Θα ήθελα τις απόψεις σας αν θέλετε για τα ερωτήματα.

Επανέρχομαι. Δεν έκανα πολύ ώρα να πιο το καφεδάκι μου

α) Εστω $x,x + 1 \in \left[ {a, + \infty } \right)$ . Προφανώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤΔΛ για την στο $\left[ x,x+1 \right]$ (λόγω της παραγωγισιμότητας της στο $\left[ {x,x + 1} \right] \subset \left[ {a, + \infty } \right)$ )

οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in \left( {x,x + 1} \right):f'\left( \xi \right) = f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right):\left( 3 \right)$

Με γνησίως αύξουσα στο $\left[ {a, + \infty } \right)$ (λόγω της κυρτότητά της) θα έχουμε:

$\xi \in \left( {x,x + 1} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) < f'\left( \xi \right) < f'\left( {x + 1} \right) \leqslant 0$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \boxed{0 \geqslant f'\left( {x + 1} \right) > f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)}:\left( 4 \right)$

Με $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1\mathop \Rightarrow \limits^{t \to + \infty } x \to + \infty } \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {x + 1} \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)} \right] = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),\,\,\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma }$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f'\left( {x + 1} \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{u = x + 1\mathop \Rightarrow \limits^{x \to + \infty } u \to + \infty } \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } f'\left( u \right) = 0\,\, \vee \,\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f'\left( x \right) = 0\,}$ και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#3

Με διαφορετικό τρόπο. Δεν χρειάζεται να έχουμε περιορισμό σε διάστημα. Όλα αυτά θα μπορούσαν να ισχύουν σε όλο το $\displaystyle{\Bbb {R}}$ .

Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα $\displaystyle{[x,x+1]}$ έχουμε $\displaystyle{f'(X_x)=f(x+1)-f(x)}$ , για κάποιο $\displaystyle{X_x \in (x,x+1)}$ .

Επειδή η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως αύξουσα θα είναι $\displaystyle{f'(x)<f(x+1)-f(x)<f'(x+1)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ , άρα

$\displaystyle{f(x)-f(x-1)<f'(x)<f(x+1)-f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ . Επειδή $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}(f(x)-f(x-1))=\lim_{x \to + \infty}(f(x+1)-f(x))=0}$ , από το

κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}f'(x)=0}$ .

Ισχυρίζομαι ότι για κάποιο $\displaystyle{x_0}$ είναι $\displaystyle{f'(x_0) \ge 0}$ , άρα για $\displaystyle{x>x_1>x_0}$ έχουμε $\displaystyle{f'(x)>f'(x_1)>f'(x_0)\ge 0}$ .

Παίρνοντας όρια στο $\displaystyle{+\infty}$ έχουμε ότι $\displaystyle{0\ge f'(x_1)>f(x_0)\ge 0}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{f'(x)<0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ .

Ισχυρίζομαι ότι για κάποιο $\displaystyle{x_0}$ είναι $\displaystyle{f(x_0) \le 0}$ , άρα για $\displaystyle{x>x_1>x_0}$ , επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα θα έχουμε

$\displaystyle{f(x)<f(x_1)<f(x_0)\le 0}$ .

Παίρνοντας όρια στο $\displaystyle{+\infty}$ έχουμε ότι $\displaystyle{0\le f(x_1)<f(x_0)}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{f(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ .

Σε ότι αφορά το ερώτημα του Στάθη σχετικά με την κυρτότητα, η απάντηση βρίσκεται σε ένα καλό πανεπιστημιακό σύγγραμμα απειροστικού

λογισμού, όπως για παράδειγμα τον απειροστικό του Νεγρεπόντη. Επίσης πολύ κατατοπιστικό είναι το άρθρο για την κυρτότητα του Ζήνωνα

Λυγάτσικα, που μπορεί να το βρει, όποιος ενδιαφέρεται στην ιστοσελίδα του.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το ότι είναι γνησίως φθίνουσα το είδαμε πρόσφατα στο
viewtopic.php?f=53&t=57279
Ισχύει κάτι ισχυρότερο.

Αν $f:(a,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ είναι κυρτή παραγωγίσιμη συνάρτηση

και $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0$

τότε $\lim_{x\rightarrow \infty }xf'(x)=0$

Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

Re: Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

Re: Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

Re: Κυρτοτητα-Οριο Παραγώγου-Πρόσημο

Μέλη σε σύνδεση