άσκηση στις συναρτήσεις

Giorgos S · #1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle f(x)-e^{f(x)}=x^3-4x (1)$ .

Να αποδείξετε ότι:

η

δεν ισχύει για $x \in [-2,0] \cup [2,+\infty)$ .

Στη συνέχεια, αν η (1)

ισχύει για $x \in (-\infty,-3]$ , να αποδείξετε ότι:

ii)

η

είναι

στο $(-\infty,-3]$ .

iii)

οι

και

δε μηδενίζονται στο $(-\infty,-3]$ .

Edit του τίτλου από Γενικούς Συντονιστές.

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα

.

Θα μας χρειαστεί η βασική ανισότητα $\displaystyle{e^{x}\geq x+1\,,x\in\mathbb{R}}$ .

$\displaystyle{i)}$ Για $\displaystyle{x\in\left[-2,0\right]\cup\left[2,+\infty\right)}$ είναι $\displaystyle{x^3-4\,x=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0}$

ενώ από την βασική ανισότητα έχουμε $\displaystyle{f(x)-e^{f(x)}\leq -1<0}$ .

Συνεπώς, η σχέση $\displaystyle{(1)}$ δεν μπορεί να ισχύει στο σύνολο $\displaystyle{\left[-2,0\right]\cup\left[2,+\infty\right)}$

$\displaystyle{ii)}$ Έστω $\displaystyle{x\,,y\in\left(-\infty,-3\right]}$ με $\displaystyle{f(x)=f(y)}$ . Τότε,

$\displaystyle{f(x)-e^{f(x)}=f(y)-e^{f(y)}\Rightarrow x^3-4\,x=y^3-4\,y\Rightarrow \left(x-y\right)\left(x^2+x\,y+y^2+y^2-4\right)=0}$ .

Επειδή

$\displaystyle{x^2+x\,y+y^2-4=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3\,y^2-16}{4}>0}$ , διότι

$\displaystyle{y\leq -3\Rightarrow y^2\geq 9\Rightarrow 3\,y^2\geq 27\Rightarrow 3\,y^2-16\geq 9>0}$ ,

από την $\displaystyle{\left(x-y\right)\left(x^2+x\,y+y^2-4\right)=0}$ έπεται ότι $\displaystyle{x=y}$ .

Συνεπώς, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{\left(-\infty,-3\right]}$

$\displaystyle{iii)}$ Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ρίζα $\displaystyle{x_0}$ , που είναι μοναδική λόγω του προηγούμενου ερωτήματος, της

συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left(-\infty,-3\right]}$ .

Η σχέση $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=x_0}$ δίνει

$\displaystyle{f(x_0)-e^{f(x_0)}=x_0^3-4\,x_0\Leftrightarrow x_0^3-4\,x_0+1=0}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{g:\left(-\infty,-3\right]\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{g(x)=x^3-4\,x+1}$

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως πολυωνυμική με $\displaystyle{g^\prime(x)=3\,x^2-4>0\,,x<-3}$ .

Επομένως, $\displaystyle{g\left(\left(-\infty,-3\right]\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}g(x),g(-3)\right]=\left(-\infty,-14\right]}$ .

Έτσι, θα ισχύει ότι $\displaystyle{g(x_0)=x_0^3-4\,x_0+1\leq -14<0}$ , άτοπο.

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{f(x)\neq 0\,,x\leq -3}$

$\displaystyle{iii)}$ Παραγωγίζοντας την $\displaystyle{(1)}$ ως προς $\displaystyle{x}$ , λαμβάνουμε

$\displaystyle{f^\prime(x)-f^\prime(x)\,e^{f(x)}=3\,x^2-4\Leftrightarrow f^\prime(x)=\frac{3\,x^2-4}{1-e^{f(x)}}\,,x\leq -3}$ .

Μπορούμε να διαιρέσουμε με τον παράγοντα $\displaystyle{1-e^{f(x)}}$ διότι $\displaystyle{f(x)\neq 0\,,x\leq -3}$ .

Έτσι, προκύπτει και $\displaystyle{f^\prime(x)\neq 0\,,x\leq -3}$ μιας και $\displaystyle{3\,x^2-4>0\,,x\leq -3}$

άσκηση στις συναρτήσεις

άσκηση στις συναρτήσεις

Re: άσκηση στις συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση