Οριακές καταστάσεις

KARKAR · #1

Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $g(x)=2x\ell n(x+2)+x-2$ , έχει ακριβώς δύο ρίζες , τις $r , \rho$ ,

με $r \in (-2 , -1) , \rho \in (0,1)$ .

Β) Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x^2-4)\ell n(x+2)$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Γ) Υπάρχει τιμή του $k \in \mathbb{R}$ , ώστε η συνάρτηση : $h(x)=\left\{\begin{matrix}f(x),x>-2 \\ & \\ k \ ,\ x=-2 & \end{matrix}\right.$ , να είναι συνεχής στο

;

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2024 7:44 pm
Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $g(x)=2x\ell n(x+2)+x-2$ , έχει ακριβώς δύο ρίζες , τις $r , \rho$ ,

με $r \in (-2 , -1) , \rho \in (0,1)$ .

Β) Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=(x^2-4)\ell n(x+2)$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Γ) Υπάρχει τιμή του $k \in \mathbb{R}$ , ώστε η συνάρτηση : $h(x)=\left\{\begin{matrix}f(x),x>-2 \\ & \\ k \ ,\ x=-2 & \end{matrix}\right.$ , να είναι συνεχής στο ;

Επειδή για κάθε είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} g'(x) &= 2 \ln(x + 2) + \dfrac{2x}{x + 2} + 1 = 2 \ln (x + 2) - \dfrac{4}{x + 2} + 3 \\[0.1in] g''(x) &= \dfrac{2}{x + 2} + \dfrac{4}{(x + 2)^2} = \dfrac{2(x + 4)}{(x + 2)^2} > 0 \end{aligned} }$

η έχει το πολύ 2 ρίζες. Ακόμη, επειδή:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to -2} g(x) = +\infty \quad &\text{ \textgreek{και} } \quad g(-1) = -3 < 0 \\[0.1in] g(0) = -2 < 0 \quad &\text{ \textgreek{και} } \quad g(2) = 8\ln 2 > 0 \end{aligned] }$

έπεται ότι η έχει ακριβώς 2 ρίζες και μάλιστα στα διαστήματα και .
‎
Παρατηρώ πως για κάθε ισχύει:

Οπότε σύμφωνα και με το ερώτημα (Α) η :
- είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα και $[\rho, +\infty)$ , και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[r, \rho]$ .
  ‎
- παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο για $x = \rho$ , το $f(\rho)$ και τοπικό μέγιστο για , το .
‎
Είναι:

$\displaystyle{ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \Bigl[ \bigl(x^2 - 4\bigr) \ln(x + 2) \Bigr] = -4 \lim_{x \to -2} \dfrac{\ln (x + 2)}{ \dfrac{1}{x + 2}} \overunderset{\frac{-\infty}{+\infty}}{\rm D.L.H}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=} -4 \lim_{x \to -2} \dfrac{\dfrac{1}{x + 2}}{\ -\dfrac{1}{(x + 2)^2}\ } = 0 }$

Συνεπώς, για $\boxed{k = 0}$ , η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο .

Οριακές καταστάσεις

Οριακές καταστάσεις

Re: Οριακές καταστάσεις

Μέλη σε σύνδεση