Από τράπεζα θεμάτων 35245

#1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}},\text{ }x\in \mathbb{R}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση

είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε (αν υπάρχει) τη θέση του σημείου καμπής της γραφικής της παράστασης.
γ) Να αποδείξετε ότι:
ii. ${f}'\left( x \right)\le 1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
ii. Για κάθε $\alpha \in \mathbb{R}$ ισχύει: $0<f\left( \alpha +1 \right)-f\left( \alpha \right)<1$ .

Αφού τη λύσετε , δείτε τα ακροβατικά του θεματοδότη εδώ

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 02, 2023 9:50 am
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}},\text{ }x\in \mathbb{R}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη
και να προσδιορίσετε (αν υπάρχει) τη θέση του σημείου καμπής της γραφικής της παράστασης.
γ) Να αποδείξετε ότι:
ii. ${f}'\left( x \right)\le 1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
ii. Για κάθε $\alpha \in \mathbb{R}$ ισχύει: $0<f\left( \alpha +1 \right)-f\left( \alpha \right)<1$ .

Αφού τη λύσετε , δείτε τα ακροβατικά του θεματοδότη εδώ

α) Προφανές.

β) $\displaystyle f''(x) = - \frac{{3x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}$ που σημαίνει ότι η

είναι κυρτή στο $\displaystyle ( - \infty ,0],$ κοίλη στο $\displaystyle [0, + \infty )$

και παρουσιάζει καμπή στο x_0.

γ) i) $\displaystyle {x^2} + 1 \geqslant 1 \Leftrightarrow {({x^2} + 1)^3} \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} \geqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} \leqslant 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{f'(x)\le 1}$

ii) Η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [a,a+1],

άρα υπάρχει $\displaystyle \xi \in (a,a+1)$ ώστε:

$\displaystyle f'(\xi ) = \frac{{f(a + 1) - f(a)}}{{a + 1 - a}} = f(a + 1) - f(a)$

Αλλά, από το προηγούμενο ερώτημα, $\displaystyle 0< f'(\xi ) \le 1,$ οπότε $\displaystyle 0 < f(a + 1) - f(a) \leqslant 1.$

Δυσκολεύομαι να απορρίψω την ισότητα στο

Το αφήνω μέχρι να βρω άλλο τρόπο (δεν έχω δει ακόμα τις απαντήσεις).

Henri van Aubel · #3

Πολύ ωραία ο Γιώργος έκανε ΘΜΤ στο $\left [ a,a+1 \right ]$ και άρα υπάρχει $\xi \in \left ( a,a+1 \right )$ τέτοιο ώστε $f{'}\left ( \xi \right )=f\left ( a+1 \right )-f\left ( a \right )$ με $0< f{'}\left ( \xi \right )\leq 1$ σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα.

Τώρα, για μετά θα πρότεινα το εξής:

Είναι $\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+c,x,c\in \mathbb{R}.$

Οπότε $\displaystyle f\left ( a+1 \right )-f\left ( a \right )=\frac{a+1}{\sqrt{\left ( a+1 \right )^{2}+1}}-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\neq 1$

που βγαίνει μετά από απλοποίηση και ύψωση στο τετράγωνο. (δεν έχω τον χρόνο τώρα να τα κάνω)

#4

Για το δεύτερο σκέλος της ανισότητας του γ)ii).

$\displaystyle f'(x) - 1 \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {f(x) - x} \right)^\prime } \leqslant 0$ με την ισότητα να ισχύει για x=0.

Άρα, η συνάρτηση f(x)-x

είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε $\displaystyle a < a + 1 \Rightarrow f(a) - a > f(a + 1) - a - 1,$ κλπ.

ΥΓ. Δεν μπορώ να βρω το θέμα 35345 στην παραπομπή.

#5

Ευχαριστώ για την ανταπόκριση
Έκανα λάθος στον αριθμό .Είναι 35245

#6

Επειδή
$f^{\prime }\left( \xi \right) =1\Leftrightarrow \xi =0$
και το

είναι η τετμημένη του μοναδικού σημείου καμπής μια σκέψη για τον αποκλεισμό της ισότητας $f\left( a+1\right) -f\left( a\right) =1$ μπορεί να προκύψει από την παρατήρηση που ως άσκηση διατυπώνεται εδώ.

Από τράπεζα θεμάτων 35245

Από τράπεζα θεμάτων 35245

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35245

Re: Από τράπεζα θεμάτων 35345

Μέλη σε σύνδεση