d . e

#1

Αν $\displaystyle{f}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη και $\displaystyle{f(ax)=(f(x))^b , f(x)>0 , a>1 , b=a^n>1, }$ , $\displaystyle{ n}$ φυσικός να βρείτε την $\displaystyle{f}$

abgd · #2

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 04, 2023 9:42 am
Αν $\displaystyle{f}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη και $\displaystyle{f(ax)=(f(x))^b , f(x)>0 , a>1 , b=a^n>1, }$ , $\displaystyle{ n}$ φυσικός να βρείτε την $\displaystyle{f}$

....................................................................................................
Λήμμα

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{0}$ και ισχύει: $\displaystyle{h(ax)=h(x) \ \ \forall x \in \mathbb{R},\ \ a>1}$ , τότε η $\displaystyle{h}$ είναι σταθερή.

Απόδειξη.

Έστω $\displaystyle{x\in \mathbb{R}^*}$ . Είναι $\displaystyle{h(x)=h\left(a\cdot\frac{x}{a}\right)=h\left(\frac{x}{a}\right)}$

Επαγωγικά... $\displaystyle{h(x)=h\left(\frac{x}{a^n}\right)}$

Εφόσον η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{0}$ θα είναι: $\displaystyle{h(x)=\lim_{n\to +\infty}{h\left(\frac{x}{a^n}\right)}=h(0)}$
..................................................................................................
Στη δοσμένη εξίσωση τώρα, αν θέσουμε $\displaystyle{g(x)=ln\left(f(x)\right), \ \ x \in \mathbb{R}}$ , αυτή είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{g(ax)=a^ng(x), \ \ x \in \mathbb{R}}$

Επαγωγικά δείχνουμε ότι $\displaystyle{g^{(k)}(ax)=a^{n-k}g^{(k)}(x)$ , για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{k}$ .

Άρα $\displaystyle{g^{(n)}(ax)=g^{(n)}(x)$ και σύμφωνα με το Λήμμα θα πρέπει: $\displaystyle{g^{(n)}(x)=c}$

Επαγωγικά... $\displaystyle{g^{(n-k)}(x)=\frac{cx^k}{k!}+c_k}$ , όπου με τη βοήθεια της $\displaystyle{g^{(k)}(ax)=a^{n-k}g^{(k)}(x)$ προκύπτει ότι $\displaystyle{c_k=0}$

Έτσι θα πρέπει $\displaystyle{g(x)=\frac{cx^n}{n!}$ , και θέτοντας $\displaystyle{m=e^{\frac{c}{n!}$ έχουμε:

$\displaystyle{\boxed{f(x)=m^{x^n}, \ \ x \in \mathbb{R}}}$ ,

#3

$\displaystyle{f(x)>0 \Rightarrow lnf(ax)=blnf(x)}$
θέτουμε $\displaystyle{lnf=g}$
παραγωγίζοντας $\displaystyle{n}$ φορές παίρνουμε $\displaystyle{a^ng^{(n)}(ax)=bg^{(n)}(x)}$
Τότε $\displaystyle{g^{(n)}(ax)=g^{(n)}(x)}$ και αν θέσουμε $\displaystyle{g^{(n)}(x)=h(x)}$ εχουμε
$\displaystyle{h(ax)=h(x)}$ με συνεχή την $\displaystyle{h}$ αφού $\displaystyle{f}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη
Τότε $\displaystyle{h(x)=h(x/a)=...=h(x/a^k)}$
$\displaystyle{h(x)=\lim_{k \to +\infty}h(x/a^k)=h(0)}$ αφού $\displaystyle{a>1}$
Ομως $\displaystyle{h(0)=c=g^{(n)}(0)\Rightarrow g(x)=cx^n/n!+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}$
$\displaystyle{f(x)=e^{cx^n/n!+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}$

abgd · #4

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 05, 2023 10:50 pm
$\displaystyle{f(x)>0 \Rightarrow lnf(ax)=blnf(x)}$
θέτουμε $\displaystyle{lnf=g}$
παραγωγίζοντας $\displaystyle{n}$ φορές παίρνουμε $\displaystyle{a^ng^{(n)}(ax)=bg^{(n)}(x)}$
Τότε $\displaystyle{g^{(n)}(ax)=g^{(n)}(x)}$ και αν θέσουμε $\displaystyle{g^{(n)}(x)=h(x)}$ εχουμε
$\displaystyle{h(ax)=h(x)}$ με συνεχή την $\displaystyle{h}$ αφού $\displaystyle{f}$ άπειρες φορές παραγωγίσιμη
Τότε $\displaystyle{h(x)=h(x/a)=...=h(x/a^k)}$
$\displaystyle{h(x)=\lim_{k \to +\infty}h(x/a^k)=h(0)}$ αφού $\displaystyle{a>1}$
Ομως $\displaystyle{h(0)=c=g^{(n)}(0)\Rightarrow g(x)=cx^n/n!+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}$
$\displaystyle{f(x)=e^{cx^n/n!+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0}$

Συγνώμη αλλά δεν καταλαβαίνω το σκοπό αυτής της απάντησης!

#5

τα αποτελεσματα μας διαφερουν

abgd · #6

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 06, 2023 6:25 am
τα αποτελεσματα μας διαφερουν

Σωστά. Όμως, δεν υπολόγισες τους συντελεστές του πολυωνύμου $\displaystyle{g(x)}$ . Για να μπορεί να ισχύει η $\displaystyle{g(ax)=a^ng(x)}$ θα πρέπει $\displaystyle{a_{n-1}=....=a_1=a_0=0}$ και έτσι τα αποτελέσματα, όπως και η λύση, συμπίπτουν!

#7

δεν κατάλαβα πως βρίσκεις τους συντελεστές του g
και κατι αλλο
Ειναι φανερό πως τα a,b είναι σταθερες και κανεις επαγωγη ως προς n=lnb/lna που ειναι μια σταθερά. Γίνεται?
Ευχαριστώ

abgd · #8

Για τους συντελεστές....
$\displaystyle{g(ax)=a^ng(x) }$

$\displaystyle{ca^nx^n/n!+a_{n-1}}a^{n-1}x^{n-1}+....+a_1ax+a_0= ca^nx^n/n!+a_{n-1}}a^{n}x^{n-1}+....+a_1a^nx+a_0a^n}$

$\displaystyle{a_{n-1}a^{n-1}=a_{n-1}a^{n}\wedge ... \wedge a_1a=a_1a^n \wedge a_0=a_0a^n}$

και εφόσον $\displaystyle{a>1}$

θα πρέπει $\displaystyle{a_{n-1}=....=a_1=a_0=0}$

Για την επαγωγή στο ....

Στην επίλυση της εξίσωσης δεν γίνεται επαγωγή στο σταθερό

αλλά στoν φυσικό αριθμό

.

Στην απόδειξη του λήμματος το

που χρησιμοποιώ προφανώς δεν είναι το

της εξίσωσης.

d . e

d . e

Re: d . e

Re: d . e

Re: d . e

Re: d . e

Re: d . e

Re: d . e

Re: d . e

Μέλη σε σύνδεση