Λύση εξίσωσης

ann79 · #1

Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός

τέτοιος ώστε να ισχύει $(m+1)^{2}ln(m^{2}+5)=(m^{2}+4)ln(m^{2}+2m+2)$ .

#2

Η εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{f(m^2+4)=f((m+1)^2),}$ όπου $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}, x>0.}$

Η συνάρτηση αυτή είναι 1-1 ως γνησίως φθίνουσα, οπότε ισοδύναμα $\displaystyle{m^2+4=(m+1)^2\iff m=\frac{3}{2}.}$

Η μονοτονία βγαίνει π.χ. ως εξής:

$\displaystyle{f'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln (x+1)}{x^2}<0,}$

αφού

$\displaystyle{a-1\geq \ln a \stackrel_{\implies}_{a\to \frac{1}{b}} \frac{b-1}{b}\leq \ln b \stackrel_{\implies}_{b\to x+1} \frac{x}{x+1}-\ln (x+1)}< 0.}$

***Ξέχασα την προφανή ρίζα $\displaystyle{-1}$ , όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ann79 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 16, 2018 2:28 pm
Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει $(m+1)^{2}ln(m^{2}+5)=(m^{2}+4)ln(m^{2}+2m+2)$ .

Η

είναι προφανής λύση.

Αν $m\neq -1$

γράφεται

$\dfrac{\ln (m^{2}+5)}{m^{2}+4}=\dfrac{\ln ((m+1)^{2}+1)}{(m+1)^{2}}$ (1)

Θεωρούμε την $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)}{x},x\in (-1,0)\cup (0,\infty )$

f(0)=1

Η

είναι συνεχής στο $(-1,\infty )$ και έχει παράγωγο στο

$(-1,0)\cup (0,\infty )$ την $f'(x)=\dfrac{\frac{x}{x+1}-\ln (x+1)}{x^{2}}< 0$ (2)

Αρα η

είναι γνησίως φθίνουσα οπότε είναι και 1-1

Ετσι η (1)γίνεται $f(m^{2}+4)=f((m+1)^{2})$

δηλαδή $m^{2}+4=(m+1)^{2}$

πού δίνει $m=\frac{3}{2}$

Τελικά οι λύσεις είναι τα $\frac{3}{2},-1$

Δικαιολόγηση της (2)

Το ότι $\frac{x}{x+1}-\ln (x+1)<0$ για $x\in (-1,0)\cup (0,\infty )$

προκύπτει ως εξής:

Από εφαρμογή του σχολικού είναι $\ln x\leq x-1,x> 0$ με ισότητα για x=1

Βάζοντας στην θέση του

το $\frac{1}{x}$

έχουμε $\ln x\geq 1-\frac{1}{x},x>0$ με ισότητα για x=1

Αρα για $x\neq 0$ είναι $\ln (x+1)> 1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$

ann79 · #4

Σας ευχαριστώ.

Λύση εξίσωσης

Λύση εξίσωσης

Re: Λύση εξίσωσης

Re: Λύση εξίσωσης

Re: Λύση εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση