Παραμετρική με λογάριθμο

#1

Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{k\in (0,+\infty )}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x+k\ln ({{x}^{2}}+{{k}^{2}})}$
α) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και ότι έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής $\displaystyle{A,B}$ .
β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στα $\displaystyle{A,B}$ και κατόπιν να δείξετε ότι τέμνονται σε σημείο $\displaystyle{D}$
του άξονα $\displaystyle{{y}'y}$
γ) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες στη $\displaystyle{C}$ της $\displaystyle{{f}'}$ και κατόπιν να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση
δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{f'(x) = m}$ για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{m\in \mathbb{R}}$ .
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{a\in (-k,k)}$ ώστε η εφαπτόμενη στο $\displaystyle{E(a,f(a))}$ να έχει σταθερή κλίση
για κάθε $\displaystyle{k\in (0,+\infty )}$ .

Andreas Panteris · #2

Καλησπέρα αγαπητοί Συνάδελφοι

α) Είναι ${{x}^{2}}+{{k}^{2}}\ge {{k}^{2}}>0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , επομένως ${{D}_{f}}=\mathbb{R}$
$\bullet$ ${f}'\left( x \right)=1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}+2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\frac{{{\left( x+k \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}\ge 0,x\in \mathbb{R}$ άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ${{D}_{f}}=\mathbb{R}$ .

$\bullet$ ${f}''\left( x \right)=\frac{2k\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)-2kx\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2k{{x}^{2}}+2{{k}^{3}}-4k{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2{{k}^{3}}-2k{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2k\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}}$
Aφού k>0

και ${{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}>0,x\in \mathbb{R}$ οι ρίζες και το πρόσημο της {f}''

εξαρτώνται από ${{k}^{2}}-{{x}^{2}}$ .

${f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm k$
${f}''\left( x \right)>0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}<{{k}^{2}}\Leftrightarrow \left| x \right|<k\Leftrightarrow -k<x<k$
${f}''\left( x \right)<0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-{{x}^{2}}<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}>{{k}^{2}}\Leftrightarrow \left| x \right|>k\Leftrightarrow x<-k\text{ }\text{ }x>k$

Άρα η είναι κοίλη στα διαστήματα $\left( -\infty ,k \right],\left[ k,+\infty \right)$ κυρτή στο $\left[ -k,k \right]$ και έχει καμπή για x=-k,x=k

.

Είναι $f\left( -k \right)=-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right),f\left( k \right)=k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)$ άρα σημεία καμπής τα $\Alpha \left( -k,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right),B\left( k,k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)$

β) Η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο $\Alpha \left( -k,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)$ έχει εξίσωση

$y-f\left( -k \right)={f}'\left( -k \right)\left( x+k \right)\Rightarrow y+k-k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)=0\left( x+k \right)\Leftrightarrow y=-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)$ $\left( {{\varepsilon }_{1}} \right)$
$\left( * \right){f}'\left( -k \right)=1+\frac{-2{{k}^{2}}}{2{{k}^{2}}}=1-1=0$

Η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο $B\left( k,k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)$ έχει εξίσωση

$y-f\left( k \right)={f}'\left( k \right)\left( x-k \right)\Rightarrow y-k-k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right)=2\left( x-k \right)\Leftrightarrow y=2x-k+k\cdot \ln \left( 2{{k}^{2}} \right)$ $\left( {{\varepsilon }_{2}} \right)$
$\left( * \right){f}'\left( k \right)=1+\frac{2{{k}^{2}}}{2{{k}^{2}}}=1+1=2$

Κοινό σημείο των $\left( {{\varepsilon }_{1}} \right),\left( {{\varepsilon }_{2}} \right)$ το σημείο $D\left( 0,-k+k\ln \left( 2{{k}^{2}} \right) \right)\in {y}'y$

γ) Η ${f}'\left( x \right)=1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}},x\in \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

$\bullet$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)=1$ , αφού $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2k}{x}=0$ , άρα η ευθεία y=1

είναι οριζόντια ασύμπτωτη της ${{C}_{{{f}'}}}$ στο $-\infty$ .

$\bullet$ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)=1$ , αφού $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2kx}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2k}{x}=0$ , άρα η ευθεία y=1

είναι οριζόντια ασύμπτωτη της ${{C}_{{{f}'}}}$ και στο $-\infty$ .

$\bullet$ ${{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2k{{\left[ \frac{{{k}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}} \right]}^{\prime }}=2k\frac{-2x{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{2}}-4x\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{4}}}=2k\frac{-2x\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)-4x\left( {{k}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=$ $=2k\frac{-2{{x}^{3}}-2{{k}^{2}}x-4{{k}^{2}}x+4{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=2k\frac{2{{x}^{3}}-6{{k}^{2}}x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=4k\frac{x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}$

Αφού $\frac{4\kappa }{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$ έχουμε:
${{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4k\frac{x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3{{k}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x=0\text{ }\text{ }x=\pm k\sqrt{3}$

(συνεχίζεται)

Andreas Panteris · #3

Πίνακας μεταβολών

$-\infty$ $-k\sqrt{3}$

$k\sqrt{3}$ $+\infty$
${f}''\left( x \right)$

${{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)$

${f}'\left( x \right)$
Σ.Κ Ο.Ε Σ.Κ Ο.Μ Σ.Κ

Η έχει ολικό ελάχιστο στη θέση x=-k

το ${f}'\left( -k \right)=0$ και ολικό μέγιστο στη θέση x=k

το ${f}'\left( k \right)=2$ .
Τα σημεία $\Gamma \left( -k\sqrt{3},{f}'\left( -k\sqrt{3} \right) \right)$ και $\Delta \left( k\sqrt{3},{f}'\left( k\sqrt{3} \right) \right)$ είναι σημεία καμπής της ${{C}_{{{f}'}}}$ .

${f}'\left( -k\sqrt{3} \right)=1-\frac{2{{k}^{2}}\sqrt{3}}{4{{k}^{2}}}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ και ${f}'\left( k\sqrt{3} \right)=1\frac{2{{k}^{2}}\sqrt{3}}{4{{k}^{2}}}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Να βοηθήσει κάποιος στη γραφική παράσταση.

δ) Σύνολο τιμών της {f}'

.

Έστω ${{\Delta }_{1}}=\left( -\infty ,-k \right],{{\Delta }_{2}}=\left[ -k,k \right],{{\Delta }_{3}}=\left[ k,+\infty \right)$
$\bullet$ H {f}'

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ${{\Delta }_{1}}=\left( -\infty ,-k \right]$ άρα ${f}'\left( {{\Delta }_{1}} \right)=\left[ {f}'\left( -k \right),\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right) \right)=\left[ 0,1 \right)$
$\bullet$ H {f}'

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ${{\Delta }_{2}}=\left[ -k,k \right]$ άρα ${f}'\left( {{\Delta }_{2}} \right)=\left[ {f}'\left( -k \right),{f}'\left( k \right) \right]=\left[ 0,2 \right]$
$\bullet$ H {f}'

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο ${{\Delta }_{3}}=\left[ k,+\infty \right)$ άρα ${f}'\left( {{\Delta }_{3}} \right)=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,,{f}'\left( k \right) \right]=\left( 1,2 \right]$

Επομένως ${f}'\left( {{D}_{f}} \right)={f}'\left( {{\Delta }_{1}} \right)\cup {f}'\left( {{\Delta }_{2}} \right)\cup {f}'\left( {{\Delta }_{3}} \right)=\left[ 0,1 \right)\cup \left[ 0,2 \right]\cup \left( 1,2 \right]=\left[ 0,2 \right]$

Για το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ${f}'\left( x \right)=m,m\in \mathbb{R}$ έχουμε:
$\centerdot$ Αν m<0

είναι αδύνατη
$\centerdot$ Αν $m=0\text{ }\text{ }m=1\text{ }\text{ }m=2$ έχει μία ρίζα
$\centerdot$ Αν $0<m<1\text{ }1<\text{ }m<2$ έχει δύο ρίζες.
$\centerdot$ Αν m>2

είναι αδύνατη

ε) Παρατηρούμε ότι ${f}'\left( 0 \right)=1$ , άρα για $\alpha =0\in \left( -k,k \right)$ η εφαπτομένη της στο σημείο $\left( 0,f\left( 0 \right) \right)$ έχει σταθερή κλίση ${f}'\left( 0 \right)=1$ .

Ελπίζω να είναι σωστές οι πράξεις.

Παραμετρική με λογάριθμο

Παραμετρική με λογάριθμο

Re: Παραμετρική με λογάριθμο

Re: Παραμετρική με λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση