Ακροθιγώς

KARKAR · #1

Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+6x+1}{x^2+kx+1}$ , αν γνωρίζετε ότι είναι το αντίθετο του ελαχίστου της .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2025 12:07 pm
Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+6x+1}{x^2+kx+1}$ , αν γνωρίζετε ότι είναι το αντίθετο του ελαχίστου της .

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $k\ne 6$ διότι αλλιώς η συνάρτηση είναι σταθερή

οπότε δεν ισχύει ότι το μέγιστό της είναι το αντίθετο του ελαχίστου της.

Ο παρονομαστής έχει διακρίνουσα k^2-4

. Άρα για $|k|\ge 2$ ο παρονομαστής κάπου μηδενίζεται οπότε η συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Άρα παίρνει (κατ' απόλυτο) αυθαίρετα μεγάλες τιμές, και άρα δεν έχει τότε μέγιστο ή/και ελάχιστο. Οπότε αυτή την περίπτωση μπορούμε να την αποκλείσουμε. Δηλαδή εργαζόμαστε στο |k|<2

.

H συνάρτηση έχει παράγωγο $\dfrac {(k-6)(x-1)(x+1)}{(x^2+kx+1)^2}$ . Άρα έχει ακρότατα για $x=\pm 1$ . Μάλιστα από το πρόσημο της παραγώγου στα $(-\infty, -1), (-1, +1), (1,+\infty)$ (που είναι σταθερό σε καθένα από τα διαστήματα αυτά) διαπιστώνουμε ότι τα ακρότατα είναι ολικά.

Η τιμή στα ακρότατα αυτά είναι $\dfrac {8}{k+2}$ και $\dfrac {-4}{2-k}$ , αντίστοιχα. Αν είναι αντίθετοι αριθμοί, έχουμε $\dfrac {8}{k+2}=-\dfrac {-4}{2-k}$ , δηλαδή k=2/3

.

Για αυτό το

η τιμή του μεγίστου είναι $\dfrac {8}{k+2}= \dfrac {8}{\frac {2}{3}+2}=3$

KARKAR · #3

Άψογη η λύση του Μιχάλη . Όπως , όμως , θα έλεγε και Γιώργος Ρίζος , παλιότερα αυτά τα λύναμε και χωρίς παράγωγο .

Μπορούμε να το κάνουμε και σ' αυτήν την άσκηση ( για να είναι και η λύση συμβατή με τον παρόντα φάκελο ) ...

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2025 12:07 pm
Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+6x+1}{x^2+kx+1}$ , αν γνωρίζετε ότι είναι το αντίθετο του ελαχίστου της .

Αλλιώς. Θέτω $\displaystyle \frac{{{x^2} + 6x + 1}}{{{x^2} + kx + 1}} = y \Leftrightarrow (y - 1){x^2} + (ky - 6)x + (y - 1 = 0$ (1)

: Ακροθιγώς.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 1636 φορές

Αν $y\ne 1,$ η (1)

είναι δευτεροβάθμια ως προς

εξίσωση και για να έχει πραγματικές ρίζες θα πρέπει

$\displaystyle \Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {(k + 2)y - 8} \right]\left[ {(k - 2)y - 4} \right] \geqslant 0$

$\displaystyle \bullet$ Αν k=2

ή

η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, οπότε δεν μπορεί να έχει δύο ακρότατα.

$\displaystyle \bullet$ Αν k>2

ή

τότε $\displaystyle y > \frac{4}{{k - 2}}$ ή $\displaystyle y < \frac{8}{{k + 2}}$ και τα ακρότατα είναι τοπικά.

Άρα θα πρέπει να είναι -2<k<2

και τότε είναι $\displaystyle \frac{8}{{k + 2}} + \frac{4}{{k - 2}} = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{3}$ και $\boxed{{y_{\max }} = 3}$

Αν y= 1,

τότε η συνάρτηση είναι σταθερή και δεν μας ενδιαφέρει.

#5

Χωρίς παραγώγους (τα κύρια βήματα) για να θυμηθούμε αυτή την απίθανη τεχνική.

Όπως πριν ασχολούμεστε με $|k|\le 2$ .

Βρίσκουμε πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης: Η εξίσωση $\dfrac{x^2+6x+1}{x^2+kx+1}=y$ έχει ρίζες. Ισοδύναμα

(1-y)x^2+(6-ky)x+1-y=0

. Άρα έχει διακρίνουσα $\ge 0$ , εδώ $(6-ky)^2-4(1-y) ^2\ge 0$ , ισοδύναμα $(k^2-4)y^2+(8-12k)y+32\ge 0$

Αφού ο συντελεστής του y^2

είναι $\le 0$ , το

είναι εντός των ριζών. Τις ρίζες τις βρίσκουμε με την βοήθεια της διακρίνουσας, που είναι ...= 16(k-6)^2

. Συγκεκριμένα θα βρούμε τις $\dfrac {8}{k+2}, \, \dfrac {4}{k-2}$ . 'Αρα τα ολικά ακρότατα του

είνα στα δύο άκρα (τις δύο ρίζες που μόλις βρήκαμε). Φτάσαμε έτσι στο τελικό βήμα της προηγούμενης λύσης. Και λοιπά.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, και με ωραιότατο σχήμα. Το αφήνω για τον κόπο.

KARKAR · #6

Μπορούμε να συντομεύσουμε κατά τι τη λύση , παρατηρώντας ότι για να έχει δυο ρίζες αντίθετες

η εξίσωση : (k^2-4)y^2+(8-12k)y+32=0

, πρέπει : $8-12k=0\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{3}$ .

Ακροθιγώς

Ακροθιγώς

Re: Ακροθιγώς

Re: Ακροθιγώς

Re: Ακροθιγώς

Re: Ακροθιγώς

Re: Ακροθιγώς

Μέλη σε σύνδεση