Όριο

Grosrouvre · #1

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f^2(x) -2f(x)sinx = sin^4x + sin^2x +1

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}}.$

styt_geia · #2

Η σχέση γίνεται

$\left(f(x)- \sin x \right)^2=\left( \sin ^2 x +1 \right)^2 \Rightarrow \left|f(x)- \sin x \right| = \sin ^2 x +1, \,\,(1)$

Επίσης

$- \left|f(x)- \sin x \right| \leq f(x)- \sin x \leq \left|f(x)- \sin x \right|$

και λόγω της σχέσης (1):

$-\sin ^2 x -1 \leq f(x)- \sin x \leq \sin ^2 x +1 \Rightarrow$

$-\sin ^2 x + \sin x -1 \leq f(x) \leq \sin ^2 x + \sin x +1 \stackrel{x>0}{\Rightarrow}$

$\displaystyle -\frac{\sin ^2 x}{x}+ \frac{\sin x}{x}-\frac{1}{x} \leq \frac{f(x)}{x} \leq \frac{\sin ^2 x}{x}+ \frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x},\,\,(2).$

Για x>0

έχουμε:

$\displaystyle \frac{\sin ^2 x}{x}+ \frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x} \leq \frac{1}{x}+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x}=\frac{3}{x},\,\,(3)$

και

$\displaystyle -\frac{\sin ^2 x}{x}+ \frac{\sin x}{x}-\frac{1}{x} \geq - \frac{1}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=-\frac{3}{x},\,\,(4)$

οπότε αφού $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( -\frac{3}{x} \right) =0=\lim_{x \to +\infty} \left ( \frac{3}{x} \right)$ , από τις σχέσεις (2),(3),(4)

και το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=0.$

Υ.Γ.: Το σημείο που γράφει ο κύριος Λάμπρου πιο κάτω γράφτηκε κάπως βιαστικά. Εννοούσα ότι και τα τρία όρια είναι ίσα με

, παραλείποντας βέβαια το επιχείρημα: "μηδενική επί φραγμένη". Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει.

#3

styt_geia έγραψε: $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\frac{\sin ^2 x}{x}= \lim_{x \to + \infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to + \infty}\frac{1}{x}=0$

Σωστό το αποτέλεσμα αλλά προβληματικός ο συλλογισμός. Π.χ. την πρώτη ισότητα πώς την δικαιολογείς;

Το ευκολότερο είναι να πεις $\frac{\sin ^2 x}{x}+ \frac{\sin x}{x}+\frac{1}{x} \le \frac{3}{x}$ και ανάλογα από την άλλη πλευρά, και μετά να πάρεις όρια.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση