Όριο από Όριο!

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #1

Θέτω ένα ωραίο, κατά τη γνώμη μου, πρόβλημα που μου δόθηκε από έναν δάσκαλο μου.

Έστω a>0

και η συνάρτηση $f:(a,+\infty) \to R_+$ είναι γνήσια αύξουσα. Αν υπάρχει b>0

ώστε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+b)}{f(x)}=1}$ τότε να δειχθεί ότι για κάθε c>a

ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+c)}{f(x)}=1}$

#2

ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Θέτω ένα ωραίο, κατά τη γνώμη μου, πρόβλημα που μου δόθηκε από έναν δάσκαλο μου.

Έστω και η συνάρτηση $f:(a,+\infty) \to R_+$ είναι γνήσια αύξουσα. Αν υπάρχει ώστε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+b)}{f(x)}=1}$ τότε να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+c)}{f(x)}=1}$

Έστω $n\in \mathbb N^*$ με $c \le nb$ . Έχουμε τότε από την υπόθεση ότι

γνήσια αύξουσα ότι

$\displaystyle{ 1 \le \frac{f(x+c)}{f(x)} \le \frac{f(x+nb)}{f(x)}= \frac{f(x+(n-1)b + b)}{f(x+(n-1)b)}\cdot \frac{f(x+(n-2)b + b)}{f(x+(n-2)b)}\cdot ... \cdot \frac{f(x + b)}{f(x)} }$

Παίρνοντας όριο $x\to \infty$ , το δεξί μέλος τείνει εξ υποθέσεως στο $1\cdot 1 \cdot 1 ... \cdot 1 =1$ . Το ζητούμενο τώρα έπεται από ισοσυγκλίνουσες.

Φιλικά,

Μιχάλης

Όριο από Όριο!

Όριο από Όριο!

Re: Όριο από Όριο!

Μέλη σε σύνδεση