Ρίζες συνάρτησης

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δίνεται ότι ισχύει:

f(2+x)=f(2-x)

και

, για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Αν επιπλέον f(0)=0

να βρείτε πόσες τουλάχιστον ρίζες έχει η

στο διάστημα [-1000,1000].

Μάρκος Βασίλης · #2

Αρχικά παρατηρούμε ότι για κάθε ρίζα x_0

της

έπεται ότι το 4-x_0

και το

είναι επίσης ρίζες της. Τώρα, ξεκινώντας από το

, έχουμε:

1. Το 4-0=4

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=2

.
2. Το

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=7

(δε θα είχε νόημα να ανακλάσουμε ως προς την x=2

ξανά).
3. Το 4-10=-6

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=2

.
4. Το

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=7

.
κ.ο.κ.

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι αν x_0

είναι μία ρίζα της

τότε έπειτα από δύο ανακλάσεις - μία ως προς x=2

και μία ως προς x=7

- η προκύπτουσα ρίζα απέχει απόσταση |x_0-(4-(14-x_0))|=10

από το

. Έτσι, ξεκινώντας από το

παίρνουμε δύο ακολουθίες ριζών:
α. την $0,10,20,\ldots,1000$ που περιέχει 101

ρίζες και,
β. την $4,-6,-16,\ldots,-996$ που περιέχει 101

ρίζες.

Έτσι, έχουμε 202

ρίζες ως τώρα. Μπορούμε, όμως, με παρόμοιο τρόπο - ξεκινώντας από το

και με ανάκλαση πρώτα ως προς την x=7

να πάρουμε το εξής:

1. Το 14-0=14

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=7

.
2. Το

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=2

(και πάλι, δε θα είχε νόημα να ανακλάσουμε ως προς την x=7

ξανά).
3. Το 14-(-10)=24

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=7

.
4. Το

είναι ρίζα της

- ανάκλαση ως προς την x=2

.
κ.ο.κ.

Έτσι παίρνουμε τις ακολουθίες:
γ. $14,24,\ldots,994$ που περιέχει

ρίζες και,
δ. $-10,-20,\ldots,-1000$ που περιέχει 100

ρίζες.

Έτσι, έχουμε άλλες 199

ρίζες, οπότε συνολικά έχουμε τουλάχιστον 401

ρίζες.

Tolaso J Kos · #3

Βρίσκοντας λίγο χρόνο ...

... μπορούμε να δείξουμε ότι η

είναι περιοδική.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #4

Πιστεύω ότι αυτή η άσκηση δεν βρίσκεται στον κατάλληλο φάκελο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 7:16 pm
Πιστεύω ότι αυτή η άσκηση δεν βρίσκεται στον κατάλληλο φάκελο.

Συμφωνώ απόλυτα.

Ας δούμε και μια συντομότατη λύση.
Από υπόθεση η

εχει μια ρίζα.
Αρα η

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Αν κάνω λάθος ας μου το επισημάνει κάποιος.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #6

Έχετε δίκιο. Η διατύπωση το εννοεί έτσι ακριβώς.

stranger · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 7:34 pm
Συμφωνώ απόλυτα.

Ας δούμε και μια συντομότατη λύση.
Από υπόθεση η εχει μια ρίζα.
Αρα η έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Αν κάνω λάθος ας μου το επισημάνει κάποιος.

Η άσκηση εννοεί να βρούμε έναν αριθμό σίγουρων ριζών και μετά να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση που έχει ακριβώς αυτόν τον αριθμό των ριζών.

Λάμπρος Κατσάπας · #8

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 8:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 7:34 pm
Συμφωνώ απόλυτα.

Ας δούμε και μια συντομότατη λύση.
Από υπόθεση η εχει μια ρίζα.
Αρα η έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Αν κάνω λάθος ας μου το επισημάνει κάποιος.
Η άσκηση εννοεί να βρούμε έναν αριθμό σίγουρων ριζών και μετά να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση που έχει ακριβώς αυτόν τον αριθμό των ριζών.

Έτσι. Η εύρεση συνάρτησης είναι αναγκαία. Διέφυγε στους παραπάνω φίλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 11:44 pm
Για τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δίνεται ότι ισχύει:

και , για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Αν επιπλέον να βρείτε πόσες τουλάχιστον ρίζες έχει η

στο διάστημα

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 9:01 pm

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 8:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 7:34 pm
Συμφωνώ απόλυτα.

Ας δούμε και μια συντομότατη λύση.
Από υπόθεση η εχει μια ρίζα.
Αρα η έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Αν κάνω λάθος ας μου το επισημάνει κάποιος.
Η άσκηση εννοεί να βρούμε έναν αριθμό σίγουρων ριζών και μετά να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση που έχει ακριβώς αυτόν τον αριθμό των ριζών.
Έτσι. Η εύρεση συνάρτησης είναι αναγκαία. Διέφυγε στους παραπάνω φίλους.

Το τι εννοεί η άσκηση δεν είναι θέμα αυτού που την λύνει.
Αυτός που πάει να την λύσει απλά διαβάζει την εκφώνηση.
Δεν μπορεί να κάνει υποθέσεις.

Σαφώς λέει

Αν επιπλέον f(0)=0

να βρείτε πόσες τουλάχιστον ρίζες έχει η

Οποιαδήποτε απάντηση κάτω από 401

είναι σωστή.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη.

Θα μπορούσε να γράψει

Αν επιπλέον f(0)=0

να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ρίζων που έχει η

και αν ήθελε συνάρτηση που τις πιάνει σαφώς να το αναφέρει.

Μάρκος Βασίλης · #10

Αν και στην αρχική δε ζητείται με κάποιον τρόπο να βρούμε μία τέτοια συνάρτηση, είναι αρκετά εύκολο.

Αν

είναι το σύνολο των 401

ριζών που περιγράφηκαν παραπάνω, τότε η συνάρτηση:

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 & x\in\mathbb{R}\setminus A\\0 & x\in A\end{array}\right.}$

ικανοποιεί όλους τους παραπάνω περιορισμούς.

Νομίζω ότι μία σαφέστερη διατύπωση θα ήταν «να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός ριζών που κάθε τέτοια συνάρτηση πρέπει (τουλάχιστον) να έχει», έτσι ώστε να μην μπορεί κανείς να απαντήσει «τουλάχιστον εφτά», για παράδειγμα.

Λάμπρος Κατσάπας · #11

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 17, 2020 10:18 am
Αν και στην αρχική δε ζητείται με κάποιον τρόπο να βρούμε μία τέτοια συνάρτηση, είναι αρκετά εύκολο.

Καλημέρα. Η εύρεση συνάρτησης είναι απαραίτητη για να αποδείξεις ότι το 401

είναι όντως ο ελάχιστος αριθμός ριζών. Δεν χρειάζεται να ζητηθεί. Η ανάλυση που έκανες δεν φτάνει. Μπορεί κάποιος να αντιτείνει το επιχείρημα ότι δεν είμαστε βέβαιοι από την παραπάνω ανάλυση ότι δεν μας ξέφυγαν και κάποιες άλλες ''σίγουρες'' ρίζες.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #12

Επιτρέπεται να ρωτήσω από περιέργεια τον κύριο Κατσάπα από πού βρήκε αυτήν την άσκηση;

Μάρκος Βασίλης · #13

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 17, 2020 11:44 am

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 17, 2020 10:18 am
Αν και στην αρχική δε ζητείται με κάποιον τρόπο να βρούμε μία τέτοια συνάρτηση, είναι αρκετά εύκολο.
Καλημέρα. Η εύρεση συνάρτησης είναι απαραίτητη για να αποδείξεις ότι το είναι όντως ο ελάχιστος αριθμός ριζών. Δεν χρειάζεται να ζητηθεί. Η ανάλυση που έκανες δεν φτάνει. Μπορεί κάποιος να αντιτείνει το επιχείρημα ότι δεν είμαστε βέβαιοι από την παραπάνω ανάλυση ότι δεν μας ξέφυγαν και κάποιες άλλες ''σίγουρες'' ρίζες.

Ναι, απλώς νομίζω ότι, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η έκφραση «πόσες τουλάχιστον ρίζες έχει η

» ήταν αυτή που δημιουργούσε την ασάφεια. Σίγουρα, αν ήταν σαφές ότι το ζητούμενο είναι να βρεθεί το πλήθος των «σίγουρων» ριζών δε θα υπήρχε διαφωνία ότι πρέπει να βρεθεί και ένα παράδειγμα συνάρτησης που να έχει ακριβώς τόσες ρίζες.

Όπως και να έχει, βγάλαμε άκρη, οπότε όλα καλά.

Λάμπρος Κατσάπας · #14

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 17, 2020 3:24 pm
Επιτρέπεται να ρωτήσω από περιέργεια τον κύριο Κατσάπα από πού βρήκε αυτήν την άσκηση;

Καλησπέρα Παναγιώτη και χρόνια πολλά για την ονομαστική σου εορτή.

Η άσκηση είναι από AIME (American Invitational Mathematics Examinations) του 1984.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #15

Σας ευχαριστώ.

Ρίζες συνάρτησης

Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Re: Ρίζες συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση