σύνολο τιμών από ανισότητα

pastavr · #1

Έστω μία συνεχής συνάρτηση

με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι : $\dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ . Πως μπορεί ένας μαθητής βασιζόμενος στο σχολικό βιβλίο να δικαιολογήσει επαρκώς ότι το σύνολο τιμών της

, είναι το $[1,+\infty)$ ;

#2

pastavr έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:19 pm
Έστω μία συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι : $\dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ . Πως μπορεί ένας μαθητής βασιζόμενος στο σχολικό βιβλίο να δικαιολογήσει επαρκώς ότι το σύνολο τιμών της , είναι το $[1,+\infty)$ ;

Από την υπόθεση είναι

α) $1 \le \dfrac{1}{3}x^2+1\leq f(x) \leq x^2+1$ με ισότητα αν χ=0

, οπότε ελάχιστη τιμή το

β) Για οπουδήποτε $M \ge 1$ επιλέγουμε $x_o=\sqrt {3(M-1)}$ (βασικά λύσαμε την $\dfrac{1}{3}x^2+1=M$ ). Είναι τότε $M\le f(x_o)$ , Άρα από συνέχεια το

είναι στο σύνολο τιμών της

.

Και λοιπά.

Μάρκος Βασίλης · #3

Αρχικά, αφού $\frac{1}{3}x^2+1\geq0+1=1$ , έπεται ότι $f(x)\geq1$ . Θέτοντας όπου

το

στη δοσμένη ανισότητα έπεται ότι 1≤ f(0)≤ 1

, οπότε

και έτσι $f(x)\geq f(0)=1$ , άρα η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

το

.

Για το σύνολο τιμών, μπορεί κανείς να εργαστεί με δύο τρόπους. Κατά πρώτον, εύκολα προκύπτει ότι $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=+∞$ . Έπειτα, παίρνουμε $\eta>1$ , οπότε βρίσκουμε

κοντά στο $+\infty$ με $f(a)>\eta$ και κάνουμε Θ.Ε.Τ. στο [0,a]

.

Αν όμως θέλουμε να αποφύγουμε το «κοντά» και όλα αυτά, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

Έστω $\eta>1$ . Θεωρούμε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{1}{3}x^2+1=\eta+1\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3\eta}.}$

Από τη δοσμένη ανισότητα έπεται ότι:

$\displaystyle{f(\sqrt{3\eta})\geq\frac{1}{3}(\sqrt{3\eta})^2+1=\eta+1>\eta>1=f(0),}$

οπότε, εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ. στο $[0,\sqrt{3\eta}]$ και έχουμε x_0

τέτοιο ώστε $f(x_0)=\eta$ .

Αφού αυτό έγινε για κάθε $\eta>1$ και f(0)=1

, έπεται ότι $f(\mathbb{R})=[1,+\infty)$ .

Edit: Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου, το αφήνω για την τιμή των όπλων. :Ρ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Είναι

και $f(x)\geq 1,x\in \mathbb{R}$

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$

Στο σχολικό υπάρχει σελίδα 76 κάτω υπάρχει το εξής:

''Η εικόνα $f(\Delta )$ ενός διαστήματος $\Delta$ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής
συνάρτησης

είναι διάστημα.''

Αρα $f(\mathbb{R})=[1,\infty )$

σύνολο τιμών από ανισότητα

σύνολο τιμών από ανισότητα

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

Re: σύνολο τιμών από ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση