Δυνατή σε bolzano

math246 · #1

Αν η

είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και f(f(x))=x

για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Επειδή μου φάνηκε ότι τη χρειάζεσαι γρήγορα απαντώ με υπόδειξη

Η

είναι 1-1 και συνεχής άρα γνησίως μονότονη .
Υποθέτουμε ότι ισχύει $f\left( x \right)\ne x$ για κάθε

. Αν είναι γνησίως αύξουσα τότε
$f\left( x \right)>x\overset{f\uparrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,f\left( f\left( x \right) \right)>f\left( x \right)\Rightarrow x>f(x)$ άτοπο , όμοια για γνησίως φθίνουσα ...

math246 · #3

Άλλη λύση χωρίς την χρήση της μονοτονίας βλέπετε;

#4

math246 έγραψε:Άλλη λύση χωρίς την χρήση της μονοτονίας βλέπετε;

Η λύση του Χρήστου εύκολα προσαρμόζεται και με αυτόν τον περιορισμό:

Αν για κάθε

έχουμε

τότε

δηλαδή

, άτοπο. 'Ομοια αν για κάθε

έχουμε

. 'Αρα για κάποια $x_0, \, x_1$ είναι $f(x_0) \ge x_0, \, f(x_1) \le x_1$ . Εφαρμόζουμε τώρα Bolzano στην f(x)-x

.

M.

#5

math246 έγραψε:Αν η είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

Αν όχι, τότε η g(x)=f(x)-x

διατηρεί πρόσημο. Έστω ότι είναι αρνητική, δηλαδή f(x)<x

.Τότε :

, άτοπο .

Δεν χρειαστήκαμε τη μονοτονία, αλλά μόνο την f(x)<x

που δίνει (αν βάλουμε όπου

το

) ότι

Δεν εξέτασα όμως αν η ίδια μέθοδος δουλεύει και για θετική

, χτύπησε για μέσα !

Μπάμπης

*** Με πρόλαβε ο Μιχάλης, το αφήνω για την επικοινωνία και μόνο

AIAS · #6

math246 έγραψε:Αν η είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

Αν

το πρόβλημα λύθηκε.
Αν f(0) = a

τότε $f(f(0)) = f(a) \Rightarrow f(a) = 0$ .
Πρώτο ενδεχόμενο:
a > 0

στο διάστημα [0,a]

η συνάρτηση g(x) = f(x) - x

πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano

αφού :
1. Είναι συνεχής στο [0,a]

2.

3.

.
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,a)$ με $g(\xi ) = 0 \Rightarrow f(\xi ) = \xi$
Δεύτερο ενδεχόμενο :
a > 0

. Τώρα ομοίως εργαζόμενοι στο διάστημα [a,0]

προκύπτει το ζητούμενο.

AIAS

math246 · #7

Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ!

Δυνατή σε bolzano

Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Re: Δυνατή σε bolzano

Μέλη σε σύνδεση