Θέμα 4, μιγαδικοί

gGa · #1

Όποια ιδέα για το 3 και το 4 υποερώτημα, ευπρόσδεκτη,

Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ο αριθμός $w=\frac{z^2-2iz-1}{z^2+1}$ είναι φανταστικός.

1. Να δείξετε ότι $w=\frac{z-i}{z+i}, z\neq \pm i$

2. Να δείξετε ότι $z\bar{z}=1$

3. Αν $z_{1}, z_{2}$ δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς , να δείξετε ότι ο αριθμός $v=\frac{(z_{1}+z_{2})^7}{z_{1}^7 + z_{2}^7}$ είναι πραγματικός.

4. Αν, επιπλέον, ισχύει $\frac{w}{i}+w^{11} = a+i,$ $a \in R$ , να βρείτε τους και .

pastavr · #2

Για το γ ερώτημα . Ξέρουμε από το β ότι : $\displaystyle{\overline {{z_1}} = \frac{1}{{{z_1}}},\overline {{z_2}} = \frac{1}{{{z_2}}}}$ . Χρησιμοποίησε αυτές τις ισότητες και βρες το $\displaystyle{\overline u }$

Για το δ ερώτημα . Αφού ξέρουμε ότι ο $\displaystyle{w}$ είναι φανταστικός , τότε θα είναι $\displaystyle{w = ki{\rm{ ,k}} \in R}$ . Αντικατέστησέ το στη σχέση του τετάρτου ερωτήματος και θα βρεις τους αγνώστους που θέλεις

#3

gGa έγραψε:Όποια ιδέα για το 3 και το 4 υποερώτημα, ευπρόσδεκτη,

Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ο αριθμός $w=\frac{z^2-2iz-1}{z^2+1}$ είναι φανταστικός.
1. Να δείξετε ότι $w=\frac{z-i}{z+1}, z\neq \pm i$

2. Να δείξετε ότι $z\bar{z}=1$

3. Αν $z_{1}, z_{2}$ δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς , να δείξετε ότι ο αριθμός $v=\frac{(z_{1}+z_{2})^7}{z_{1}^7 + z_{2}^7}$ είναι πραγματικός.

4. Αν, επιπλέον, ισχύει $\frac{w}{i}+w^{11} = a+i,$ $a \in R$ , να βρείτε τους και .

O παρονομαστής στο ερώτημα

είναι μάλλον z+i

(ή όχι) ;

Μπ

gGa · #4

Ναι κ. Στεργίου έχετε δίκιο, έγινε η διόρθωση.

gGa · #5

3 υποερώτημα
Θεωρώντας από το υποερώτημα 2 ότι $z\bar{z}=1 \Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ και για να αποδείξω ότι $v\in R\Leftrightarrow \bar{v}=v$
Οπότε: $\bar{v}=\bar{(\frac{({z_{1}+z_{2}})^7}{z_{1}^7 + z_{2}^7})}$ = $\frac{(\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}})^7}{\bar{z_{1}}^7 + \bar{z_{2}}^7}$ = $\frac{(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}})^7}{(\frac{1}{z_{1}})^7+(\frac{1}{z_{2}})^7}$ = $\frac{(\frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}z_{2}})^7}{\frac{(z_{1})^7+(z_{2})^7}{z_{1}^7z_{2}^7}}}$ = $\frac{({z_{1}+z_{2}})^7}{z_{1}^7 + z_{2}^7}= v$
Σημ: (Στο αρχικό κλάσμα η παύλα της συζυγίας δεν καλύπτει όλη την παράσταση.)

gGa · #6

4 υποερώτημα,
Εφόσον $w\in I$ τότε θα είναι της μορφής $w=bi, b\in R$ .
Οπότε : $\frac{w}{i}+w^{11} = a+i \Leftrightarrow \frac{ki}{i}+(ki)^{11} = a+i \Leftrightarrow k+k^{11}(-i)=a+i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=a\\ -k^{11}=1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ k=-\sqrt[11]{1} \Leftrightarrow k=-1 \end{matrix}\right.$
Τελικά α=-1 και w=-i.

Ευχαριστώ τον κ. Σταυρόπουλο για τις επισημάνσεις.

Βασιλέας Καρδαμίτσης · #7

Στο πρώτο ερώτημα με απλή παραγοντοποίηση αριθμητή και παρονομαστή προκύπτει: $w=\dfrac{(z-i)^2}{(z-i)(z+i)}=\dfrac{z-i}{z+i}$ . Προφανώς ο παρονομαστής στην εκφώνηση του πρώτου ερωτήματος είναι z+i

και όχι

Στο δεύτερο ερώτημα, w φανταστικός, άρα $w=-\bar{w}$ οπότε $\dfrac{z-i}{z+i}=-\dfrac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$ ... $z\bar{z}=1$
Στο τρίτο ερώτημα, μια λίγο διαφορετική προσέγγιση:
$u=\dfrac{(z_1+z_2)^7}{z_1^7+z_2^7}= \dfrac{(z_1+z_2)^7\bar{z_1}^7}{(z_1^7+z_2^7)\bar{z_1}^7} =\dfrac{(z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_1})^7}{(z_1\bar{z_1})^7+(z_2\bar{z_1})^7} = \dfrac{(1+z_2\bar{z_1})^7}{1+z_2^7\bar{z_1}^7} = \dfrac{(z_2\bar{z_2}+z_2\bar{z_1})^7}{z_2^7\bar{z_2}^7+z_2^7\bar{z_1}^7} = \dfrac{\left[z_2(\bar{z_2}+\bar{z_1})\right]^7}{z_2^7(\bar{z_2}^7+\bar{z_1}^7)} = \dfrac{ z_2^7(\bar{z_1}+\bar{z_2})^7 } {z_2^7(\bar{z_2}^7+\bar{z_1}^7)} =\bar{u}$
Αρα $u \in \mathbb{R}$
Στο τέταρτο:
$\dfrac{w}{i}+w^{11}=a+i \Leftrightarrow -iw+w^{11}=a+i (1)$ . Οπότε $i\bar{w}+\bar{w}^{11}=a-i$ και αφού $\bar{w}=-w$ : $-iw-w^{11}=a-i (2)$ .
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2): $-2iw=2a \Leftrightarrow w=\dfrac{a}{-i}=ai$
H (1) γράφεται: $-iai+(ai)^{11}=a+i \Leftrightarrow a-a^{11}i=a+i$ . Οπότε $a^{11}=-1$ Άρα a=-1

επομένως

gGa · #8

Βασιλέας Καρδαμίτσης έγραψε: Στο τρίτο ερώτημα, μια λίγο διαφορετική προσέγγιση:
$u=\dfrac{(z_1+z_2)^7}{z_1^7+z_2^7}= \dfrac{(z_1+z_2)^7\bar{z_1}^7}{(z_1^7+z_2^7)\bar{z_1}^7} =\dfrac{(z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_1})^7}{(z_1\bar{z_1})^7+(z_2\bar{z_1})^7} = \dfrac{(1+z_2\bar{z_1})^7}{1+z_2^7\bar{z_1}^7} = \dfrac{(z_2\bar{z_2}+z_2\bar{z_1})^7}{z_2^7\bar{z_2}^7+z_2^7\bar{z_1}^7} = \dfrac{\left[z_2(\bar{z_2}+\bar{z_1})\right]^7}{z_2^7(\bar{z_2}^7+\bar{z_1}^7)} = \dfrac{ z_2^7(\bar{z_1}+\bar{z_2})^7 } {z_2^7(\bar{z_2}^7+\bar{z_1}^7)} =\bar{u}$
Αρα $u \in \mathbb{R}$

Ενδιαφέρουσα η προσέγγισή σας.

Στο τέταρτο:
$\dfrac{w}{i}+w^{11}=a+i \Leftrightarrow -iw+w^{11}=a+i (1)$ . Οπότε $i\bar{w}+\bar{w}^{11}=a-i$ και αφού $\bar{w}=-w$ : $-iw-w^{11}=a-i (2)$ .
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2): $-2iw=2a \Leftrightarrow w=\dfrac{a}{-i}=ai$
H (1) γράφεται: $-iai+(ai)^{11}=a+i \Leftrightarrow a-a^{11}i=a+i$ . Οπότε $a^{11}=-1$ Άρα επομένως

Εξίσου ενδιαφέρουσα,
Ευχαριστώ για την ανάρτηση και τον κόπο σας

Θέμα 4, μιγαδικοί

Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Re: Θέμα 4, μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση