Καλή προσέγγιση

KARKAR · #1

: Καλή προσέγγιση.png (29.7 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

να εγγράψετε το ορθογώνιο PQST

του οποίου

το εμβαδόν να ισούται ( αριθμητικά ) με την περίμετρό του , υπολογίζοντας τις διαστάσεις του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 06, 2025 7:34 pm
Καλή προσέγγιση.pngΣτο τρίγωνο , με : να εγγράψετε το ορθογώνιο του οποίου

το εμβαδόν να ισούται ( αριθμητικά ) με την περίμετρό του , υπολογίζοντας τις διαστάσεις του .

$\displaystyle xy = 2x + 2y \Leftrightarrow y = \frac{{2x}}{{x - 2}}$ και $\displaystyle \frac{x}{{12}} = \frac{{AT}}{8} = \frac{{AS}}{9} \Rightarrow AT = \frac{{2x}}{3},AS = \frac{{3x}}{4}$

Άρα, $\displaystyle TB = \frac{2}{3}(12 - x),SC = \frac{3}{4}(12 - x)$ και με Π.Θ υπολογίζω τα BP, QC

συναρτήσει του

: Καλή προσέγγιση.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

$\displaystyle BP + x + QC = 12 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{{(x - 2)}^2}{{(12 - x)}^2} - 36{x^2}} }}{{3(x - 2)}} + x + \frac{{\sqrt {9{{(x - 2)}^2}{{(12 - x)}^2} - 64{x^2}} }}{{4(x - 2)}} = 12$

Πρέπει να είναι κανείς τρελός για να θέλει να λύσει αυτή την εξίσωση, που δίνει $x\simeq 5,9997$ $y\simeq 3,000075.$

Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε με μία πολύ καλή προσέγγιση ότι $\boxed{x=6, y=3}$

Υπάρχει και η τιμή $x=y\simeq 4,$ αλλά απορρίπτεται αφού θέλουμε ορθογώνιο και όχι (σχεδόν

) τετράγωνο.

duamba · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 06, 2025 7:34 pm
Στο τρίγωνο , με : να εγγράψετε το ορθογώνιο του οποίου

το εμβαδόν να ισούται ( αριθμητικά ) με την περίμετρό του , υπολογίζοντας τις διαστάσεις του .

: kali-prosegk..png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Είναι

, ημιπερίμετρος: $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{29}{2}$

Εμβαδόν απο Ήρωνα:
$(ABC)=\sqrt{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)} \approx 35.99$

Άρα το ύψος h είναι:
$h=\frac{2*(ABC)}{12} \approx 5.99$

Ισχύει $\triangle ABC \sim \triangle ATS$ και $\triangle BTP \sim \triangle BAR$ .

Θέτω TS=x

,

, και έχω:

$\displaystyle \begin{cases} yx = 2(y+x) \\ \\ \frac{(8-t)}{8} = \frac{x}{12} \\ \\ \frac{t}{8}=\frac{y}{h} \end{cases}$

... μετά απο πολλές πράξεις το λογισμικό βρίσκει:
$\left\{ t : 4.00019292682318, \ x : 5.99971060976523, \ y : 3.000072 35279324\right\}$
$\left\{ t : 5.33320470924745, \ x : 4.00019293612882, \ y : 3.99980708248156 \right\}$

(Κράτησα και το τετραγωνοειδές για να φαίνεται πιο μπαμπάτσικο το σχήμα

)

Καλή προσέγγιση

Καλή προσέγγιση

Re: Καλή προσέγγιση

Re: Καλή προσέγγιση

Μέλη σε σύνδεση