Σαδιστική μεγιστοποίηση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17444
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σαδιστική μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 09, 2025 10:39 am

Α) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : f(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta-1 .
Σαδιστική μεγιστοποίηση.png
Σαδιστική μεγιστοποίηση.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές
Β) Προεκτείνουμε την βάση BC του ισοσκελούς τριγώνου ABC κατά τμήμα CD , έτσι

ώστε : BD=AB=AC=b . Υπολογίστε το μέγιστο της διαφοράς : AD-CD .


Λέξεις Κλειδιά:
διαφορά
μέγιστο
συνάρτηση
Κορυφή
abgd
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Φεβ 10, 2025 2:10 pm

A.

f(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta-1=2cos\theta-2(2cos^2\theta-1)-1=-4cos^2\theta+2cos\theta+1=


=\dfrac{5}{4}-\left(2cos\theta-\dfrac{1}{2}\right)^2 .

Το ελάχιστο της f προκύπτει όταν cos\theta =-1 και είναι ίσο με -5.

Το μέγιστο της f προκύπτει όταν cos\theta =\dfrac{1}{4} και είναι ίσο με \dfrac{5}{4}.

B.

Οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ABC είναι ίσες με 180^o-2\theta και έτσι η βάση BC θα είναι ίση με -2bcos2\theta.

Οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ABD είναι ίσες με \theta και έτσι η βάση AD θα είναι ίση με 2bcos\theta.

Άρα AD-CD=AD-(BD-BC)=2bcos\theta-b-2b cos2\theta=bf(\theta), με \dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}, αφού -2bcos2\theta>0

Από το Α. η μέγιστη τιμή αυτής της διαφοράς θα είναι \boxed{\dfrac{5}{4}\cdot b},

εφόσον στο διάστημα \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) υπάρχει γωνία \theta τέτοια ώστε cos\theta = \dfrac{1}{4}


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17444
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 10, 2025 6:49 pm

Και αναφύεται το ερώτημα : Υπάρχει ρεαλιστική περίπτωση να φτάσουμε αυτή τη διαφορά ;


Κορυφή
abgd
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Σαδιστική μεγιστοποίηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Φεβ 10, 2025 7:46 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 10, 2025 6:49 pm
 Και αναφύεται το ερώτημα : Υπάρχει ρεαλιστική περίπτωση να φτάσουμε αυτή τη διαφορά ;
Θανάση... την πάτησα! :wallbash:

Το παράδοξο: Δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο!

Γιατί;

Υπάρχουν περιορισμοί στη γωνία που μου διέφυγαν: BC\leq b, ο οποίος, αν δεν κάνω λάθος, περιορίζει τη γωνία \theta στο διάστημα \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}\right], όπου μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Συνεπώς, με την υπόθεση μιας μεταβαλλόμενης βάσης BC,

το μέγιστο της διαφοράς θα είναι το f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=b, δηλαδή όταν το AD συμπίπτει με το AC και το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες