Χρυσάφι με δύναμη

KARKAR · #1

Σίγουρα έχει μελετηθεί αλλά το βάζω ως ερέθισμα για ψάξιμο . Για κάθε φυσικό $n\geq 3$ υπολογίζουμε

το : $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ . Βρίσκουμε πάντα αποτέλεσμα της μορφής : $a+b\sqrt{5}$ , όπου οι αριθμοί a , b

είναι ακέραιοι ή ημιακέραιοι . Δύο ακόμη ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις :

Για

περιττό , είναι : $a<b\sqrt{5}$ . Για

άρτιο , είναι : $a>b\sqrt{5}$ . Για μεγάλα

είναι : $a\simeq b\sqrt{5}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 1:06 pm
Σίγουρα έχει μελετηθεί αλλά το βάζω ως ερέθισμα για ψάξιμο . Για κάθε φυσικό $n\geq 3$ υπολογίζουμε

το : $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ . Βρίσκουμε πάντα αποτέλεσμα της μορφής : $a+b\sqrt{5}$ , όπου οι αριθμοί

είναι ακέραιοι ή ημιακέραιοι . Δύο ακόμη ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις :

Για περιττό , είναι : $a<b\sqrt{5}$ . Για άρτιο , είναι : $a>b\sqrt{5}$ . Για μεγάλα είναι : $a\simeq b\sqrt{5}$ .

.
Έχει διάφορους τρόπους αντιμετώπισης, αλλά θα αναφερθώ (συνοπτικά) μόνο σε δύο.

Εύκολα βλέπουμε από το ανάπτυγμα του διωνύμου ότι αν $\displaystyle{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n = a_n+b_n \sqrt 5}$ τότε $\displaystyle{\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n = a_n-b_n \sqrt 5}$ (διότι οι όροι της μορφής $(-\sqrt 5)^n$ του αναπτύγματος κρατάνε ένα $\sqrt 5$ αν και μόνον αν το

είναι περιττός, αλλά τότε μένει και ένα "πλην").

Δεδομένου ότι $-1<\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} <0$ (η τιμή του είναι $\approx -0,618$ ) έχουμε ότι για

περιττό ισχύει

$\displaystyle{a_n-b_n \sqrt 5 = \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n <0}$ ενώ είναι

για

άρτιο. Έπεται ότι $a_n<b_n\sqrt{5}$ για

περιττό και $a_n>b_n\sqrt{5}$ , αλλιώς, όπως θέλαμε.

Επίσης, αφού στο όριο είναι $\displaystyle{a_n-b_n \sqrt 5 = \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \longrightarrow 0}$ , ισχύει $a_n\simeq b_n\sqrt{5}$ για μεγάλα

. Ακόμα καλύτερα, διαιρώντας με το b_n

αποδεικνύεται ότι $\dfrac {a_n}{b_n} \to \sqrt 5$ , αφού $b_n\to \infty$ .

Μένει το πρώτο μέρος της άσκησης. Μπορούμε να εργαστούμε στο ίδιο ύφος, αλλά ας δούμε κάτι διαφορετικό: Από τις

$\displaystyle{\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2= \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ και $\displaystyle{ \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3= 2+\sqrt 5}$ έχουμε

$\displaystyle{a_{n+1}+b_{n+1} \sqrt 5= \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n \cdot \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}= (a_n+b_n \sqrt 5) \cdot \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} =\dfrac {1}{2}( a_n+5b_n )+ \dfrac {1}{2}( a_n+b_n)\sqrt 5 }$

Έπεται $\displaystyle{a_{n+1}= \dfrac {1}{2}( a_n+5b_n ) }$ και $\displaystyle{b_{n+1} = \dfrac {1}{2}( a_n+b_n )}$ . Όμοια

$\displaystyle{a_{n+3}= 2a_n+5b_n }$ και $\displaystyle{b_{n+3} = a_n+2b_n }$ .

Μς χρήση της τελευταίας έπεται

α) από τις $a_1= \dfrac{1}{2}, \, b_1= \dfrac{1}{2}$ (ημιακέραιοι) ότι θα είναι ημιακέραιοι και οι a_4,b_4

και

και λοιπά (ανά τρεις). Όμοια

β) από τις $a_2= \dfrac{3}{2}, \, b_2= \dfrac{1}{2}$ (ημιακέραιοι) ότι θα είναι ημιακέραιοι και οι a_5,b_5

και

και λοιπά (ανά τρεις) και

γ) από τις $a_3= 2, \, b_3= 1$ (ακέραιοι) ότι θα είναι ακέραιοι και οι a_6,b_6

και

και λοιπά (ανά τρεις).

Για όφελος των μαθητών μας, για να μην αποπροσανατολίζονται με εσφαλμένη πληροφορία την στιγμή που βρίσκονται στην ιερή διαδικασία της μάθησης, ας επισημάνω ότι η ωραία αυτή άσκηση δεν έχει καμία σχέση με τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά (που είναι ένας σοβαρός και ελκυστικός κλάδος των Μαθηματικών). Ανήκει στα κλασικά Μαθηματικά (Ανάλυση).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 1:06 pm

Για περιττό , είναι : $a<b\sqrt{5}$ . Για άρτιο , είναι : $a>b\sqrt{5}$ .

.
Λόγω του περασμένου της ώρας χθες, ξέχασα να γράψω έναν δεύτερο τρόπο λύσης του παραπάνω σκέλους της άσκησης, που είχα κατά νου. Τον προσθέτω εδώ:

Κάνει χρήση των ταυτοτήτων $\displaystyle{a_{n+1}= \dfrac {1}{2}( a_n+5b_n ) }$ και $\displaystyle{b_{n+1} = \dfrac {1}{2}( a_n+b_n )} \, (*)$ που είδαμε στην πρώτη λύση.

Εργαζόμεστε επαγωγικά. Αφού ελέγξουμε το αποδεικτέο για n=1

, για το επαγωγικό βήμα, έστω ότι ισχύει $a_n<b_n\sqrt{5} \,(**)$ (όμοια για την ανάποδη ανισότητα), τότε θα δείξουμε ότι $a_{n+1} >b_{n+1}\sqrt{5}$ (ή, αντίστοιχα, το ανάποδο). Πράγματι, από την (**)

και με πολλαπλασιασμό επί $\sqrt 5 -1$ έχουμε

$a_n(\sqrt 5-1)<b_n\sqrt{5} (\sqrt 5-1)= 5b_n- b_n\sqrt 5$ . Άρα $(a_n+b_n)\sqrt 5 < a_n+5 b_n$ , που με χρήση των (**)

ισοδυναμεί με το αποδεικτέο. Και λοιπά, οι ανισότητες πηγαίνουν εναλλάξ, αρχίζοντας από την πρώτη.

KARKAR · #4

Αφορμή για την άσκηση , υπήρξε η ( απελπιστικά αναλυτική ) παρουσίαση του θέματος αυτού .

Ακολούθησαν οι παρατηρήσεις που αναφέρω στο θέμα και "ρίσκαρα" την ανάρτησή του εδώ .

Ξεκίνησε λοιπόν σαν ένα παιγνίδι (εξ ' ου και ο φάκελος ) αλλά η αντιμετώπιση του Μιχάλη

το ανέβασε σε ανώτερα επίπεδα

Χρυσάφι με δύναμη

Χρυσάφι με δύναμη

Re: Χρυσάφι με δύναμη

Re: Χρυσάφι με δύναμη

Re: Χρυσάφι με δύναμη

Μέλη σε σύνδεση