Από ένα παλιό ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα τέθηκε προς λύση σε ένα τεύχος του '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' στις αρχές του 1999.
Το είχα λύσει τότε, είχα στείλει την λύση μου και είχα την χαρά να δω το όνομά μου στους λύτες μαζί με δεκάδες άλλα...
Νομίζω ότι είναι ένα καλό θέμα για μαθητές Τρίτης Γυμνασίου - Λυκείου, δίχως κάτι το εξαιρετικό...

Ένας κτηματίας αποφάσισε να πουλήσει το κτήμα του στους γείτονες, κρατώντας για τον εαυτό του το οίκημα που θα του χρησίμευε ως κατοικία για το υπόλοιπο της ζωής του. Το όλο κτήμα έχει τετράγωνο σχήμα και περιλαμβάνει το επίσης τετράγωνο οικόπεδο στην πάνω δεξιά γωνία, όπου βρίσκεται το οίκημα, το οποίο δεν διατίθεται για πώληση. Τα τρία προς πώληση αγροτεμάχια, που σημειώνονται με τα γράμματα Α,Β,Γ, έχουν ορθογώνιο σχήμα, είναι όμοια μεταξύ τους αλλά με διαφορετικό εμβαδόν. Ο κτηματίας ζητά την ίδια τιμή ανά στρέμμα και για τα τρία τεμάχια. Αν για το τεμάχιο Β απαιτεί 10 εκατομμύρια δραχμές, πόσο είναι το τίμημα και για τα τρία τεμάχια;

Η αναφορά που κάνω στις δραχμές έγινε από σεβασμό στην διατύπωση του προβλήματος. Έχει ιστορική και μόνο ιστορική σημασία...

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 12:05 am
Το παρακάτω θέμα τέθηκε προς λύση σε ένα τεύχος του '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' στις αρχές του 1999.
Το είχα λύσει τότε, είχα στείλει την λύση μου και είχα την χαρά να δω το όνομά μου στους λύτες μαζί με δεκάδες άλλα...
Νομίζω ότι είναι ένα καλό θέμα για μαθητές Τρίτης Γυμνασίου - Λυκείου, δίχως κάτι το εξαιρετικό...

Ένας κτηματίας αποφάσισε να πουλήσει το κτήμα του στους γείτονες, κρατώντας για τον εαυτό του το οίκημα που θα του χρησίμευε ως κατοικία για το υπόλοιπο της ζωής του. Το όλο κτήμα έχει τετράγωνο σχήμα και περιλαμβάνει το επίσης τετράγωνο οικόπεδο στην πάνω δεξιά γωνία, όπου βρίσκεται το οίκημα, το οποίο δεν διατίθεται για πώληση. Τα τρία προς πώληση αγροτεμάχια, που σημειώνονται με τα γράμματα Α,Β,Γ, έχουν ορθογώνιο σχήμα, είναι όμοια μεταξύ τους αλλά με διαφορετικό εμβαδόν. Ο κτηματίας ζητά την ίδια τιμή ανά στρέμμα και για τα τρία τεμάχια. Αν για το τεμάχιο Β απαιτεί 10 εκατομμύρια δραχμές, πόσο είναι το τίμημα και για τα τρία τεμάχια;

Η αναφορά που κάνω στις δραχμές έγινε από σεβασμό στην διατύπωση του προβλήματος. Έχει ιστορική και μόνο ιστορική σημασία...

.

Ας προσθέσω ότι το ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ακόμα βγαίνει, φτάνοντας περί τα 450

τεύχη.

Ονομάχουμε a,b

όπου

την πλευρά των δύο τετραγώνων και

την μικρή πλευρά του μικρού ορθογωνίου. Από το σχήμα είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι οι διαστάσεις των ορθογωνίων είναι

μικρό:

και

μεσαίο:

και

μεγάλο:

και

.

Από την υπόθεση ομοιότητας έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {x}{a}= \dfrac {a+x}{b-a}= \dfrac {b-a-x}{b}}$ και άρα ίσα με το $\displaystyle{\dfrac {(a+x)+(b-a-x)}{(b-a)+b}= \dfrac {b}{2b-a}}$

Λύνοντας χωριστά δύο εξισώσεις ως προς

θα βρούμε $\displaystyle{x= \dfrac {ab}{2b-a}}$ και $\displaystyle{\dfrac {a^2}{b-a}}$ . Εξισώνοντας τις δύο τιμές του

που βρήκαμε, έχουμε $\displaystyle{x= \dfrac {ab}{2b-a}=\dfrac {a^2}{b-a}}$ από όπου $b=(2+\sqrt 3)a$ . Πίσω στις προηγούμενες είναι $\displaystyle{x= \dfrac {\sqrt 3}{3}}$ και άρα οι διαστάσεις των παραλληλογράμμων είναι

μικρό: $\displaystyle{ax = \dfrac {\sqrt 3}{3}a^2}$
μεσαίο: $\displaystyle{(a+x)(b-a)= ... = \dfrac {2}{3}(2+\sqrt 3)}a^2$
μεγάλο: $(b-a-x)b=...= \dfrac {1}{3}(12+7\sqrt 3)a^2$

από όπου οι τιμές τους ως κλάσματα των

εκατομμυρίων δραχμών (ίσον περίπου 29,400

ευρώ... καλή τιμή για μεγάλο

).

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 12:05 am
Το παρακάτω θέμα τέθηκε προς λύση σε ένα τεύχος του '' ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ '' στις αρχές του 1999.
Το είχα λύσει τότε, είχα στείλει την λύση μου και είχα την χαρά να δω το όνομά μου στους λύτες μαζί με δεκάδες άλλα...
Νομίζω ότι είναι ένα καλό θέμα για μαθητές Τρίτης Γυμνασίου - Λυκείου, δίχως κάτι το εξαιρετικό...

Ένας κτηματίας αποφάσισε να πουλήσει το κτήμα του στους γείτονες, κρατώντας για τον εαυτό του το οίκημα που θα του χρησίμευε ως κατοικία για το υπόλοιπο της ζωής του. Το όλο κτήμα έχει τετράγωνο σχήμα και περιλαμβάνει το επίσης τετράγωνο οικόπεδο στην πάνω δεξιά γωνία, όπου βρίσκεται το οίκημα, το οποίο δεν διατίθεται για πώληση. Τα τρία προς πώληση αγροτεμάχια, που σημειώνονται με τα γράμματα Α,Β,Γ, έχουν ορθογώνιο σχήμα, είναι όμοια μεταξύ τους αλλά με διαφορετικό εμβαδόν. Ο κτηματίας ζητά την ίδια τιμή ανά στρέμμα και για τα τρία τεμάχια. Αν για το τεμάχιο Β απαιτεί 10 εκατομμύρια δραχμές, πόσο είναι το τίμημα και για τα τρία τεμάχια;

Η αναφορά που κάνω στις δραχμές έγινε από σεβασμό στην διατύπωση του προβλήματος. Έχει ιστορική και μόνο ιστορική σημασία...

Καλό μεσημέρι!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και λόγω της ομοιότητας είναι:

: Περισκόπιο.png (5.51 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

$\displaystyle \frac{b}{{a + c}} = \frac{a}{c} = \frac{{a + b}}{{b - c}} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{b - a}} = c = \frac{{ab}}{{2a + b}} \Rightarrow {b^2} - 2ab - 2{a^2} = 0$ απ' όπου παίρνω:

$\boxed{b = a\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}$ και $\boxed{c = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}}$ Άρα $\displaystyle B = (a + c)b \Leftrightarrow$ $\boxed{B = \frac{{2{a^2}\left( {2\sqrt 3 + 3} \right)}}{3}}$ (1)

Το προς πώληση οικόπεδο έχει εμβαδόν $\displaystyle E = {(a + b)^2} - {a^2} = {b^2} + 2ab \Leftrightarrow E = 2{a^2}\left( {2\sqrt 3 + 3} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{E=3B}$

Ο κτηματίας ζητάει λοιπόν

εκατομμύρια δραχμές.

Από ένα παλιό ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''.

Από ένα παλιό ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''.

Re: Από ένα παλιό ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''.

Re: Από ένα παλιό ''ΠΕΡΙΣΚΟΠΙΟ''.

Μέλη σε σύνδεση