Επί ρίζα δύο

Chatzibill · #1

Άν $\huge {a^b}^{b^a}=\sqrt{2}a$ τότε με πόσο ισούται το πηλίκο $\huge \frac{a^2}{b}$

#2

Δεν υπάρχει μοναδική απάντηση.

#3

Chatzibill έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 18, 2018 2:08 am
Άν $\huge {a^b}^{b^a}=\sqrt{2}a$ τότε με πόσο ισούται το πηλίκο $\huge \frac{a^2}{b}$

Ελπίζω να μην νομίζεις ότι η μόνη λύση είναι η a=0

.

Σημειώνω ότι, για παράδειγμα, για κάθε b>1

υπάρχει από Bolzano a>1

που επιλύει την εξίσωση. Οι δε αντίστοιχες τιμές του a^2/b

είναι εν γένει, όπως επισημαίνει ο Δημήτρης, διαφορετικές (μάλιστα άπειρες το πλήθος). Με άλλα λόγια, δεν κατανοώ την ερώτηση. Ίσως λείπει κάποια συνθήκη;

Chatzibill · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 18, 2018 1:33 pm

Chatzibill έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 18, 2018 2:08 am
Άν $\huge {a^b}^{b^a}=\sqrt{2}a$ τότε με πόσο ισούται το πηλίκο $\huge \frac{a^2}{b}$
Ελπίζω να μην νομίζεις ότι η μόνη λύση είναι η .

Σημειώνω ότι, για παράδειγμα, για κάθε υπάρχει από Bolzano που επιλύει την εξίσωση. Οι δε αντίστοιχες τιμές του είναι εν γένει, όπως επισημαίνει ο Δημήτρης, διαφορετικές (μάλιστα άπειρες το πλήθος). Με άλλα λόγια, δεν κατανοώ την ερώτηση. Ίσως λείπει κάποια συνθήκη;

Μετά από τις απαντήσεις σας, ξανακοίταξα την λύση μου και εντόπισα λάθη, όμως δεν μπόρεσα να φτάσω στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν πέρα από μία λύσεις, πόσο μάλλον ότι αυτές είναι άπειρες.

Η άσκηση βρέθηκε στο αρχείο του υπολογιστή μου και δεν μπορώ να βρω τη πηγή, θα το ψάξω και μέχρι αύριο θα την έχω παραθέσει. Όπως και εσείς είπατε, πιθανώς, λείπει κάποια συνθήκη

#5

Chatzibill έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 18, 2018 10:56 pm
... όμως δεν μπόρεσα να φτάσω στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν πέρα από μία λύσεις, πόσο μάλλον ότι αυτές είναι άπειρες.

.
Μου προξενεί εντύπωση που το λες αυτό (το κοκκινισμένο) γιατί νομίζω ότι έδωσα αρκετά στοιχεία για να φανεί ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις, τουλάχιστον μία για κάθε b>1

. Ας είμαι πιο αναλυτικός.

Έστω b>1

δοσμένος. Εξετάζουμε την συνάρτηση $f(x) = {x^b}^{b^x}-\sqrt 2 x$ για $x\ge 1$ . Είναι $f(1)= 1-\sqrt 2 <0$ . Επίσης για x>1

είναι
$f(x) = {x^b}^{b^x}-\sqrt 2 x > {x^b}^{b^1}-\sqrt 2 x > {x^b}-\sqrt 2 x \to \infty$ καθώς $x\to \infty$ , , και άρα κάπου είναι

. Από Bolzano υπάρχει a>1

με

, όπως θέλαμε. Άρα έχουμε άπειρα ζεύγη (a,b)

που ικανοποιούν την εξίσωση (κάθε b>1

δίνει από από ένα τουλάχιστον

).

Για να δούμε ότι και τα $\frac {a^2}{b}$ είναι άπειρα το πλήθος. Θα πάρουμε $b\to \infty$ και θα δούμε πρώτα απ' όλα ότι το a>1

που δίνει λύση, ικανοποιεί $a\to 1$ . Πράγματι

$\displaystyle{ \sqrt 2 a= {a^b}^{b^a} \ge {a^b}^{b}}$ , άρα $\displaystyle{ \sqrt 2 \ge {a^{b^{b} -1}}$ , οπότε $\displaystyle{0 <\ln a \le \frac {\ln \sqrt 2}{b^b-1}\to 0}$ από όπου το ζητούμενο.

Με άλλα λόγια $\displaystyle{\lim _{b\to \infty } \frac {a^2}{b} =0}$ που σημαίνει ότι το $\displaystyle{\ \frac {a^2}{b} }$ παίρνει άπειρες το πλήθος τιμές (αν έπαιρνε πεπερασμένες, θα είχε μία τελευταία, οπότε δεν θα $\to 0$ ).

Επί ρίζα δύο

Επί ρίζα δύο

Re: Επί ρίζα δύο

Re: Επί ρίζα δύο

Re: Επί ρίζα δύο

Re: Επί ρίζα δύο

Μέλη σε σύνδεση