Ο π είναι άρρητος

[pito]

Καλημέρα .
Ήθελα να ρωτήσω το εξής αφού από τον ορισμό του ο αριθμός είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του ( και γράφεται σαν κλάσμα), γιατί είναι άρρητος;
Ευχαριστώ.

[kostas_zervos]

Καλημέρα .
Ήθελα να ρωτήσω το εξής αφού από τον ορισμό του ο αριθμός είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του ( και γράφεται σαν κλάσμα), γιατί είναι άρρητος;
Ευχαριστώ.

Το δεν είναι ρητός. Κοίταξε τον ορισμό του ρητού .

ή (π.χ.) γεωμετρικά:

Ο λόγος της διαγωνίου τετραγώνου προς την πλευρά του είναι που είναι άρρητος.

[pito]

Συμφωνώ και γνωρίζω τον ορισμό του ρητού, δεν υπάρχει όμως περίπτωση οι όροι του κλάσματος να είναι ακέραιοι( και ο παρανομαστής μη μηδενικός);
Με λίγα λόγια σ έναν μαθητή λέμε ότι όποιο κύκλο και να πάρεις ο λόγος του μήκους του προς τη διάμετρό του είναι σταθερός με ένα έκ των όρων του κλάσματος να είναι άρρητος και τέλος;
Ευχαριστώ και πάλι.

[Γιώργος Απόκης]

Καλημέρα Μυρτώ. Το ότι είναι άρρητος δεν είναι φανερό από τον ορισμό, αλλά αποδεικνύεται δες π.χ. εδώ

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[kostas_zervos]

Συμφωνώ και γνωρίζω τον ορισμό του ρητού, δεν υπάρχει όμως περίπτωση οι όροι του κλάσματος να είναι ακέραιοι( και ο παρανομαστής μη μηδενικός);
Με λίγα λόγια σ έναν μαθητή λέμε ότι όποιο κύκλο και να πάρεις ο λόγος του μήκους του προς τη διάμετρό του είναι σταθερός με ένα έκ των όρων του κλάσματος να είναι άρρητος και τέλος;
Ευχαριστώ και πάλι.

Η απόδειξη ότι ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρο είναι σταθερός δεν είναι απλή για να τη διδαχτεί ένας μαθητής. Ακόμη περισσότερο δύσκολη είναι η απόδειξη ότι ο λόγος αυτός είναι άρρητος. Οι αποδείξεις αυτές υπάρχουν όμως!

Για διδακτικούς λόγους οι αποδείξεις αυτές παραλείπονται από τα σχολικά βιβλία.

Μια άλλη απόδειξη που παραλείπεται συνήθως και ίσως καμιά φορά να βρίσκεται σε παράρτημα του βιβλίου είναι η απόδειξη του εμβαδού του τετραγώνου (ή σε μερικά βιβλία η απόδειξη του ορθογωνίου , εξαρτάται ποιο αποδεικνύει πρώτο ο συγγραφέας , κοίταξε σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας σελ 212) η οποία επίσης θέλει ιδιαίτερες τεχνικές.

Επίσης για το σημείο αυτό , μπορεί και οι δύο όροι να είναι άρρητοι.

[thanasis kopadis]

Να συμπληρώσω , στο ενδιαφέρον θέμα που ανοίξατε, ότι ο Γιόχαν Λάμπερτ απέδειξε το 1761 ότι το π είναι άρρητος αριθμός, ενώ αργότερα, το 1882, ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π έχει μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: είναι υπερβατικός αριθμός. Στην αλγεβρική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Στη γεωμετρική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το π αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο. Ουσιαστικά το π δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός.

[argiris95]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου δείξει την απόδειξη ότι το είναι υπερβατικός??

[achilleas]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου δείξει την απόδειξη ότι το είναι υπερβατικός??

http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradco ... Notes6.pdf

http://www.maths.bris.ac.uk/~malab/PDFs/MA469.pdf

(Πηγή: Google)

Φιλικά,

Αχιλλέας

[cretanman]

Κοίτα και μία απόδειξη στα Ελληνικά εδώ από μία εργασία σε ένα μεταπτυχιακό μάθημα Θεωρίας Αριθμών του δικού μας Νίκου Κατσίπη.

Αλέξανδρος

[argiris95]

Σας ευχαριστώ πολύ για τις παραπομπές.