Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας

#1

Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=20232023...2023}$ , ο οποίος έχει $\displaystyle{28}$ ψηφία (και το $\displaystyle{2023}$ εμφανίζεται $\displaystyle{7}$ φορές.)

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{A}$ ,

(1) Με το $\displaystyle{2}$
(2) Με το $\displaystyle{3}$
(3) Με το $\displaystyle{5}$
(4) Με το $\displaystyle{9}$
(5) Με το $\displaystyle{6}$

chris97 · #2

Μια προσπάθεια
1) Ο Α είναι περιττός αριθμός, επομένως της μορφής A=2k+1

άρα το υπόλοιπο είναι

2) Παρατηρούμε πως το άθροισμα των ψηφίων του Α είναι 7*7=49

επομένως ο A-1=3k

δηλ

άρα το υπόλοιπο είναι 1
3)Ο Α τελειώνει σε

άρα είναι της μορφής A=5k+3

άρα το υπόλοιπο είναι

5) Έστω

, με

. Θα δείξουμε ότι u=1

άρα το u δεν μπορεί να είναι 0,2,4

.

άρα το u δεν μπορεί να είναι

. Τέλος θα αποκλείσουμε την περίπτωση u=5

αφού τότε ο A+1=6k

δηλ

δηλ της μορφής 3k+2

κάτι που δεν γίνεται να ισχύει λόγω 2)

#3

Για το (4) (που ξεχάστηκε εκ παραδρομής από τον Chris97) :

Έχουμε:

$\displaystyle{A=20232023 . . . 2023 = 20232023 . . . 2019 +4}$

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού $\displaystyle{20232023 . . .20232019}$ , είναι $\displaystyle{6.7 +2+0+1+9=54}$

και άρα ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ , (αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ ).

Συνεπώς έχουμε:

$\displaystyle{A=9.k + 4}$ , με $\displaystyle{k}$ ακέραιο. Συνεπώς (με βάση την Ευκλείδεια διαίρεση), το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{A}$ με το $\displaystyle{9}$

είναι $\displaystyle{4}$ .

Και λίγο διαφορετικά για το (5):

Έχουμε:

$\displaystyle{A=20232023 . . . 2023 = 20232023 . . . 20232022 +1}$

Ο αριθμός $\displaystyle{20232023 . . . 20232022}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2}$ (αφού είναι άρτιος) αλλά επίσης είναι και πολλαπλάσιο

του $\displaystyle{3}$ , αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι $\displaystyle{6.7+2+0+2+2=48}$ , (και το $\displaystyle{48}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ )

Αφού λοιπόν ο αριθμός $\displaystyle{20232023 . . . 20232022}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{2}$ και του $\displaystyle{3}$ και αφού επί πλέον

οι αριθμοί $\displaystyle{2}$ και $\displaystyle{3}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα θα είναι και πολλαπλάσιο του $\displaystyle{6}$ .

Συνεπώς έχουμε:

$\displaystyle{A=6.m +1}$ , όπου $\displaystyle{m}$ ακέραιος.

Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{A}$ με το $\displaystyle{6}$ είναι $\displaystyle{1}$ .

Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας

Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας

Re: Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας

Re: Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας

Μέλη σε σύνδεση