Εμπνευσμένο πολλαπλάσιο του 9

Τόλης · #1

Έστω $\large b$ ένας $\large n-$ ψήφιος φυσικός αριθμός, $\large n\geq 2$ , και το άθροισμα των ψηφίων του $\large b$ είναι έστω $\large a=x1+x2+x3+....+xn$ , όπου $\large x1,x2,x3,...,xn$ τα ψηφία του αριθμού.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\large b-a$ μπορεί να πάρει την μορφή $\large 9k$ , $\large k\in \mathbb{N}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από την ομιλία του κύριου Μιχάλη Λάμπρου "Τα μαθηματικά είναι μαγεία" που είδα στο youtube.

#2

Τόλης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 08, 2023 11:23 am
Έστω $\large b$ ένας $\large n-$ ψήφιος φυσικός αριθμός, $\large n\geq 2$ , και το άθροισμα των ψηφίων του $\large b$ είναι έστω $\large a=x1+x2+x3+....+xn$ , όπου $\large x1,x2,x3,...,xn$ τα ψηφία του αριθμού.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\large b-a$ μπορεί να πάρει την μορφή $\large 9k$ , $\large k\in \mathbb{N}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από την ομιλία του κύριου Μιχάλη Λάμπρου "Τα μαθηματικά είναι μαγεία" που είδα στο youtube.

$\displaystyle{b=x_1 +10^1 .x_2 + 10^2 .x_3 + . . . +10^{n-1}.x_n}$

Άρα: $\displaystyle{b-a =x_1 +10^1 .x_2 +10^2 .x_3 + . . . +10^{n-1}.x_n -x_1 -x_2 -x_3 - . . . -x_n =}$

$\displaystyle{=0 +(10^1 -1)x_2 +(10^2 -1).x_3 + . . . +(10^{n-1}-1),x_n}$

Όμως $\displaystyle{10^k -1 =(10-1).(10^{k-1} +10^{k-2}+ . . . +10 +1) =}$ πολ $\displaystyle{9}$ , για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$

Άρα: $\displaystyle{b-a = 9x_2 +9k_3 .x_3 +9k_4 .x_4 + . . . +9k_n .x_n =}$ πολ $\displaystyle{9}$ .

Τόλης · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 08, 2023 4:44 pm

Τόλης έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 08, 2023 11:23 am
Έστω $\large b$ ένας $\large n-$ ψήφιος φυσικός αριθμός, $\large n\geq 2$ , και το άθροισμα των ψηφίων του $\large b$ είναι έστω $\large a=x1+x2+x3+....+xn$ , όπου $\large x1,x2,x3,...,xn$ τα ψηφία του αριθμού.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\large b-a$ μπορεί να πάρει την μορφή $\large 9k$ , $\large k\in \mathbb{N}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από την ομιλία του κύριου Μιχάλη Λάμπρου "Τα μαθηματικά είναι μαγεία" που είδα στο youtube.
$\displaystyle{b=x_1 +10^1 .x_2 + 10^2 .x_3 + . . . +10^{n-1}.x_n}$

Άρα: $\displaystyle{b-a =x_1 +10^1 .x_2 +10^2 .x_3 + . . . +10^{n-1}.x_n -x_1 -x_2 -x_3 - . . . -x_n =}$

$\displaystyle{=0 +(10^1 -1)x_2 +(10^2 -1).x_3 + . . . +(10^{n-1}-1),x_n}$

Όμως $\displaystyle{10^k -1 =(10-1).(10^{k-1} +10^{k-2}+ . . . +10 +1) =}$ πολ $\displaystyle{9}$ , για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$

Άρα: $\displaystyle{b-a = 9x_2 +9k_3 .x_3 +9k_4 .x_4 + . . . +9k_n .x_n =}$ πολ $\displaystyle{9}$ .

Σημείωση: Ο κύριος Λάμπρου από όπου σκέφτηκα το πρόβλημα, είχε την περίπτωση με διψήφιο αριθμό.

Εμπνευσμένο πολλαπλάσιο του 9

Εμπνευσμένο πολλαπλάσιο του 9

Re: Εμπνευσμένο πολλαπλάσιο του 9

Re: Εμπνευσμένο πολλαπλάσιο του 9

Μέλη σε σύνδεση