Πολλαπλάσιος του 5.

Τόλης · #1

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\alpha$ είναι πολλαπλάσιο του

.

$\alpha = 91^{2}+92^{2}+93^{2}+...+99^{2}$

#2

Τόλης έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 26, 2023 12:47 pm
Να δείξετε ότι ο αριθμός $\alpha$ είναι πολλαπλάσιο του .

$\alpha = 91^{2}+92^{2}+93^{2}+...+99^{2}$

Υπάρχουν πολλοί τρόποι. Ξεκινώ με έναν. Κοιτάμε το τελευταίο ψηφίο κάθε αριθμού και προσθέτουμε. Θα βρούμε

1+4+9+6+5+6+9+4+1=45

. Λήγει σε

. Και λοιπά.

Τόλης · #3

Επιπλέον ερώτημα: Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\alpha$ διαιρείται με το

.

#4

Τόλης έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 26, 2023 1:25 pm
Επιπλέον ερώτημα: Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\alpha$ διαιρείται με το .

'Εστω $\displaystyle{a}$ ένας ακέραιος. Τότε $\displaystyle{a=0,1,2 mod3}$ . Άρα $\displaystyle{a^2 =0,1 mod3}$

Οι αριθμοί $\displaystyle{93 , 96 , 99 }$ είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ και άρα $\displaystyle{93^2 , 96^2 , 99^2 }$ είναι $\displaystyle{0mod3}$ .

Ενώ οι αριθμοί $\displaystyle{91^2 , 92^2 , 94^2 , 95^2 , 97^2 , 98^2}$ είναι $\displaystyle{1mod3}$

Άρα ο αριθμός: $\displaystyle{91^2 +92^2 +93^2 +94^2 +95^2 +96^2 +97^2 +98^2 +99^2 =1+1+0+1+1+0+1+1+0 =}$

$\displaystyle{ 6mod3 =0mod3}$ και

άρα διαιρείται με το $\displaystyle{3}$

#5

Τόλης έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 26, 2023 12:47 pm
Να δείξετε ότι ο αριθμός $\alpha$ είναι πολλαπλάσιο του .

$\alpha = 91^{2}+92^{2}+93^{2}+...+99^{2}$

Ας δούμε αλλιώς (αλλά εκτός ύλης για την συγκεκριμένη τάξη) και τις δύο ασκήσεις, ότι δηλαδή ο αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του

και του

.

Γράφουμε $S_n= 1^2+2^2+...+n^2= \frac {1}{6} n(n+1)(2n+1)$ , οπότε μελετάμε το $S_{99}-S_{90}$ . Είναι

$\displaystyle{S_{99} = \frac {1}{6} \cdot 99\cdot 100 \cdot 199= \frac {99}{3} \cdot \frac {100}{2} \cdot 199= 33\cdot 50 \cdot 199= }$ πολλαπλάσιο του

. 'Ομοια

$\displaystyle{S_{90} = \frac {1}{6} \cdot 90\cdot 91 \cdot 181=\frac {90}{6} \cdot 91 \cdot 181= 15\cdot 91 \cdot 191= }$ πολλαπλάσιο του

Άρα και η διαφορά τους είναι πολλαπλάσιο του

#6

Τόλης έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 26, 2023 1:25 pm
Επιπλέον ερώτημα: Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\alpha$ διαιρείται με το .

Ας δούμε και έναν ακόμα τρόπο:

Αρχικά οι αριθμοί $\displaystyle{93 , 96 , 99}$ διαιρούνται με το $\displaystyle{3}$ (αφού το άθροισμα των ψηφίων τους διαιρείται με το $\displaystyle{3}$

Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=91^2 +92^2 +94^2 +95^2 +97^2 +98^2}$ διαιρείται επίσης με το $\displaystyle{3}$

Έχουμε: $\displaystyle{b=(91^2 -1)+(92^2 -1)+(94^2 -1)+(95^2 -1)+(97^2 -1)+(98^2 -1)+6 =}$

$\displaystyle{(91-1)(91+1)+(92-1)(92+1)+(94-1)(94+1)+(95-1)(95+1)+(98-1)(98+1)+6=}$

$\displaystyle{90.92+91.93+93.95+94.96+97.99 +6}$

Παρατηρούμε ότι κάθε όρος του πιο πάνω αθροίσματος διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ . Άρα και ο $\displaystyle{b}$ διαιρείται με το $\displaystyle{3}$

Τόλης · #7

Ευχαριστώ πολύ για τις πανέμορφες απαντήσεις σας.

Πολλαπλάσιος του 5.

Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Re: Πολλαπλάσιος του 5.

Μέλη σε σύνδεση