Πολλαπλάσια και διαιρέτες

[Μπάμπης Στεργίου]

Ένα συνάδελφος από το διπλανό Γυμνάσιο έδωσε σήμερα στα παιδιά της Α' το παρακάτω πρόβλημα. Και όπως συμβαίνει συνήθως σε αυτές τις περιπτώσεις, την πληρώνει ο ...μαθηματικός του ορόφου, στην προκειμένη περίπτωση εγώ ,μια και μου χτύπησε την πόρτα το γειτονάκι ! Σας δίνω το πρόβλημα , μια και είναι αρκετά ωραίο:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ας υποθέσουμε ότι η Άννα, η Μαρία και ο Νίκος έχουν από ένα μεγάλο κατάλογο που έχει όλους τους αριθμούς από 1 μέχρι και το 2006.
Η Άννα υπογραμμίζει τους αριθμούς 2 , 4 , 6 κλπ , η Μαρία τους αριθμούς 3 , 6 , 9 κλπ και ο Νίκος τους αριθμούς 4 , 8 , 12 κλπ. Πόσους από τους αριθμούς αυτούς θα υπογραμμίσουν μόνο δύο παιδιά ;

Μπάμπης

[lonis]

Μία φορά θα υπογραμμιστούν μόνο οι πρώτοι αριθμοί. Δύο φορές θα υπογραμμιστούν τα τετράγωνα των πρώτων αριθμών. Επειδή τα τετράγωνα των φυσικών μέχρι το 2006 είναι 44 σε πλήθος και από τους 43 αριθμούς (χωρίς το 1): 2, 3, 4 ..... 44 πρώτοι είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 (14 σε πλήθος) τελικά θα υπογραμμιστούν ακριβώς δύο φορές 14 αριθμοί (τα τετράγωνα των παραπάνω πρώτων). Βιάστηκα;

Λεωνίδας

ΥΓ1: Ποια χρονιά φτιάχτηκε η άσκηση;
ΥΓ2: Γιατί ο καθηγητής δεν έβαλε στον κατάλογο τους αριθμούς ως το 2009;

[Mihalis_Lambrou]

Μία φορά θα υπογραμμιστούν μόνο οι πρώτοι αριθμοί. Δύο φορές θα υπογραμμιστούν τα τετράγωνα των πρώτων αριθμών. Επειδή τα τετράγωνα των φυσικών μέχρι το 2006 είναι 44 σε πλήθος και από τους 43 αριθμούς (χωρίς το 1): 2, 3, 4 ..... 44 πρώτοι είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 (14 σε πλήθος) τελικά θα υπογραμμιστούν ακριβώς δύο φορές 14 αριθμοί (τα τετράγωνα των παραπάνω πρώτων). Βιάστηκα;

Λεωνίδα, έλυσες άλλη άσκηση, πιο δύσκολη.
Από ότι καταλαβαίνω έλυσες την εξής: Εχουμε πολλά παιδιά.
Το πρώτο υπογράμμισε τους 2, 4, 6, ...
Το δεύτερο τους 3, 6, 9, ...
Το τρίτο τους 4, 8, 12, ...
Το τέταρτο τους 5, 10, 15, ...
Το πέμπτο τους ...
και λοιπά.

Στο παραπάνω πρόβλημα, όμως, τα παιδιά είναι τρία: Η Άννα, η Μαρία και ο Νίκος.

Μία υπόδειξη
Η Άννα υπογράμμισε όλους τους αριθμούς του Νίκου. Μερικούς του υπογράμμισε και η Μαρία. ...
Επίσης, ...

Φιλικά,

Μιχάλης.

[lonis]

Μιχάλη, έχεις δίκιο, αυτό ήταν το σκεπτικό μου, με 2005 παιδιά! Ευχαριστώ για τη διόρθωση. Επειδή δεν έχω δικά μου παιδιά, "υιοθέτησα" τους μαθητές μου, πρώην και νυν!
Δεν θα ασχοληθώ άλλο γιατί "βλέπω" μια μαθήτρια να κοιτάει το θέμα. Τόπο στα νιάτα!

Λεωνίδας

[Mihalis_Lambrou]

Τόπο στα νιάτα!

Υποκλίνομαι

[Stavroulitsa]

Καλησπέρα! Μόνο 2 παιδιά θα υπογραμμίσουν 501 αριθμούς. Πρώτα θα εξετάσουμε τα πολλαπλάσια του 4 και του 2, βέβαια όσοι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 4 είναι και πολλαπλάσια του 2, άρα διαιρώντας 2006 με 4 βρίσκουμε 501 πολλαπλάσια. Όμως απ' αυτούς τους αριθμούς πολλοί είναι και πολλαπλασια του 3 και διαιρώντας 2006 με 12(=3*4) βρίσκουμε 167 πολλαπλάσια τα οποία τα αφαιρούμε από τους 501 αριθμούς επειδή είναι κοινά πολλαπλάσια, 501-167=334. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τα πολλαπλάσια του 2 και 3 (δεν θα υπολογήσουμε ποτέ τα πολλαπλάσια του 3 και 4 γιατί τότε θα είναι και πολλαπλάσια του 2) και διαιρώντας το 2006 με το 6(=2*3) βρίσκουμε 334 πολλαπλάσια. Απ' αυτά μερικά είναι και πολλαπλάσια του 4, οπότε θα αφαιρέσουμε τα 167 κοινα και των 3 αριθμών πολλαπλάσια, 334-167=167. Τέλος τα πολλαπλάσια μόνο 2 αριθμών είναι 334+167=501.

[Μπάμπης Στεργίου]

Σταυρουλίτσα μπράβο !

Τόσο βρήκα και γω , αν και με λίγο πιο απλούς συλλογισμούς. Θέλω τώρα να ρωτήσω και το εξής :

Η απάντηση 501 είναι ταυτόσημη με τα πολλαπλάσια του 4 ανάμεσα στο 1 και το 2006 μαζί με το 2006 . Δοκίμασα το ίδιο πρόβλημα με μικρότερο νούμερο και βρήκα την ίδια ιδιότητα.
Λέτε να είναι τυχαίο ή υπάρχει κάποια κρυφή σχέση ;

Μπάμπης

[nkatsipis]

Καλημέρα!
Η απάντηση κάθε φορά θα είναι ίση
ή (με τα πολλαπλάσια του 4)

ή (με τα πολλαπλάσια του 4) +1.

Αυτό διότι το πλήθος των αριθμών (μικρότεροι από έναν αριθμό ) με την συγκεκριμένη ιδιότητα της άσκησης είναι:

|πολ4|-|πολ12|+|πολ6|-|πολ12|=|πολ4|+|πολ6|-2|πολ12|.

Όμως, γενικά, |πολ12|=|πολ6|/2, αν |πολ6|=άρτιος,
|πολ12|=(|πολ6|-1)/2, αν |πολ6|=περιττός.

Σχόλιο:

Προσπάθησα να το εξηγήσω απλά (λόγω της θέσης της άσκησης) και ίσως χάνω σε μαθηματική αυστηρότητα.
Συμβολισμός: |πολ α|=πλήθος πολλαπλασιων του α που είναι μικρότερα ή ίσας του .

Νίκος Κατσίπης