Πρόσθεση κλασμάτων

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Απάντηση
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5589
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Πρόσθεση κλασμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Μαρ 06, 2009 5:58 pm

Μια ακόμα ασκησούλα για να μπαίνουν και οι μικροί μαθητές σιγά - σιγά στο νόημα με τους πολλούς όρους και να βλέπουν την αξία της προσεταιριστικής ιδιότητας (αλλά και των άλλων ιδιοτήτων).

ΑΣΚΗΣΗ

Αν A= \frac {1}{2} +\frac {2}{3}+ \frac {3}{4}+...+ \frac {2008}{2009}

και

B= \frac {3}{2} +\frac {4}{3}+ \frac {5}{4}+...+ \frac {2010}{2009},

να βρεθεί ο αριθμός A + B


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Πρόσθεση κλασμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Παρ Μαρ 06, 2009 7:03 pm

\displaystyle A+B=(\frac{1}{2}+\frac{3}{2})+(\frac{2}{3}+\frac{4}{3})+...+(\frac{2008}{2009}+\frac{2010}{2009})=(\frac{1+3}{2})+(\frac{2+4}{3})+...+(\frac{2008+2010}{2009})=\sum_{k=1}^{2008}\frac{k+(k+2)}{k+1}=\sum_{k=1}^{2008}\frac{2(k+1)}{k+1}=2\cdot 2008=4016


Γιάννης
Κορυφή
Δήμητρα
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 4:21 pm

Re: Πρόσθεση κλασμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δήμητρα » Πέμ Μάιος 14, 2009 4:40 pm

Απευθύνεστε σε Α' Γυμνασίου... Αν δεν είχα τον αδερφό μου δεν θα καταλάβαινα τα σύμβολα!!


Δήμητρα 1996
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
lonis
Δημοσιεύσεις: 406
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 12:33 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Πρόσθεση κλασμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lonis » Πέμ Μάιος 14, 2009 5:18 pm

Έχει δίκιο το κορίτσι μας! Ας τα πούμε λίγο αναλυτικότερα:

ΑΣΚΗΣΗ

Αν A= \frac {1}{2} +\frac {2}{3}+ \frac {3}{4}+...+ \frac {2008}{2009}

και B= \frac {3}{2} +\frac {4}{3}+ \frac {5}{4}+...+ \frac {2010}{2009},

να βρεθεί ο αριθμός A + B

ΛΥΣΗ
Βλέποντας τους αριθμούς Α και Β, καταλαβαίνουμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον καθένα χωριστά - πώς να κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα; Ευτυχώς δε μας ζήτησαν κάτι τέτοιο αλλά να υπολογίσουμε το άθροισμα A + B. Εδώ τα πράγματα είναι πολύ καλύτερα! Παρατηρούμε ότι, προσθέτοντας τους αριθμούς κατά στήλη, σχηματίζουν άθροισμα 2:
\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2
\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2
\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=\frac{8}{4}=2
......................................... και με τον ίδιο τρόπο βγαίνουν 2 όλα αυτά τα αθροίσματα μέχρι το τελευταίο:
\frac{2008}{2009}+\frac{2010}{2009}=\frac{4018}{2009}=2

Έτσι, το άθροισμα που μας ζήτησαν να υπολογίσουμε, είναι ίσο με: A+B=2+2+2+....+2

Πόσα είναι συνολικά αυτά τα 2άρια; Σίγουρα όσα και τα κλάσματα της παράστασης Α (ή της Β), αφού σε κάθε κλάσμα της παράστασης Α (πχ στο \frac{1}{2}) αντιστοιχεί ένα 2άρι (το \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2). Βλέπουμε ότι οι αριθμητές των κλασμάτων της παράστασης Α είναι οι αριθμοί 1,2,3,..., 2008, που είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Έτσι, το πλήθος των αριθμών αυτών είναι 2008, άρα και τα κλάσματα είναι σε πλήθος 2008. Επομένως τα 2άρια που βρίσκονται στο άθροισμα A + B είναι 2008 σε πλήθος και τελικά:
A + B=2008\cdot 2=4016
Ελπίζω να έγιναν πιο κατανοητά τα πράγματα, αν και με την ευκαιρία, ήρθες πιο κοντά στον αδερφό σου :)

Λεωνίδας


Κάνε το θαύμα για να τ' αρνηθείς (Α. Μπρετόν - Π. Ελυάρ)
Κορυφή
Δήμητρα
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 14, 2009 4:21 pm

Re: Πρόσθεση κλασμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δήμητρα » Πέμ Μάιος 14, 2009 5:28 pm

Ήταν απολύτως κατανοητά!! Ευχαριστώ πολύ!! :D


Δήμητρα 1996
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες